三维 势阱的研究.doc

三维δ势阱的研究 摘要：本文重点对一维、二维及三维势阱进行了较为详细的讨论。其中一维势阱包括无限深方势阱和一维δ势阱，二维情形则主要对方势阱进行了相关的讨论，三维势阱的讨论包括球方势阱以及三维δ势阱的一种特殊情况。讨论的过程中，在深刻理解一维、二维和三维势阱的基础上，通过与自由粒子平面波的相类似的方式，在量子力学范畴内建立合适的球面波函数，进而重点讨论三维δ势阱具有球对称性的S态，得出该问题的严格解析解。 关键词：一维δ势阱；三维δ势阱；球面波 目 录 引言 1 1.相关量子力学知识 1 2. 一维势阱 1 2.1.一维无限深势阱 1 2.2.一维势阱 4 3.二维势阱 5 3.1.势阱的波函数 5 3.2二维方势阱 6 3.3几种特殊情况 8 4.三维势阱 8 4.1.无限深球方势阱 8 4.2三维δ势阱 11 参考文献 14 英文摘要 15 致谢 15 引言 势阱是量子力学的基本模型之一，近年来对于它的讨论在涉及以量子力学为基础的各个领域中都取得了很大的成就[1,2]。正确理解势阱的概念，并对诸如由一维到三维、由简单到复杂等情形作较为深入地探讨与推广，对于量子力学的学习与理解具有非常重要的作用。本科阶段对量子力学的学习 主要是侧重于对基本概念的理解与基本方法的把握，从这个层面来看，对于较为复杂势阱的研究有相当大的难度。本文在对量子力学中已有模型讨论方法进行深刻理解的基础之上，来尝试对较为复杂的势阱的特例——三维δ势阱具有球对称性的S态——进行讨论，力图给出该模型势阱的解析解，为进一步普遍性地求解三维δ势阱，提供一定的理论基础。 1.相关量子力学知识 一个微观粒子的量子态用波函数来描述，当确定后，粒子的任何一个力学量的平均值及其测值几率的分布都可以完全确[1,2]。因此，量子力学中最核心的问题就是要解决波函数如何随时间演化，以及在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数。在此基础上，引入薛定谔方程 (1.1) 它揭示了微观世界中物质运动的基本规律。 2一维势阱 2.1一维无限深势阱 粒子在一维力场作用下运动，它的势能在一定区域内为零，在此区域外势场被视为无限大，这种模型被称为一维无限深势阱[1]。设某质量为、能量为的粒子在一维无限深势阱内运动，它的势能表示为： (2.1) 其定态薛定谔方程为： (2.2) 考虑到的形式，方程(2.2)可化简为： (2.3) 根据E的不同取值范围,方程(2.2)有不同的解 (1)时 方程(2.1)可写为 (2.4) 其中均为正实数。由于在时，为使波函数满足单值连续有限条件，只有当，(2.4)中第二式成立，由(2.3)和上述条件知： (2.5) 由 的连续性，即得： (2.6) (2.7) 由（2.6）、（2.7）得： (2.8) (2.9) 如果A，B同时为零，处处为零，无意义，所以A，B不能同时为零分 为两种情况讨论； （1）时， (2.10) （2) 时， (2.11) 由（2.10）、（2.11）知 分别对应的奇数倍和偶数倍。时对应波函数处处为零，不可取。为负整数时与取正整数时线性相关，也不可取，所以有 ： （1） (2.12)