第十二节定积分在物理学中的应用.ppt

* * 定积分在物理学中的应用 前面我们已经介绍了定积分在几何方面的应用，我们看到，在利用定积分解决几何上诸如平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积等问题时，关键在于写出所求量的微元 定积分在物理方面的应用的关键也是如此，希望大家注意如何写出所求量的微元——微功、微压力、微引力等 由物理学知道，如果一个物体在常力F作用下，使得物体沿力的方向作直线运动 ，物体有位移 s 时，力F对物体所作的功为：W=F*s 这个公式只有在力F是不变的情况下才适用，但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的。下面我们通过例子来说明如何利用微元法来求变力所作的功。 例1 已知弹簧每伸长 0.02 m 要用 9,8 N 的力，求把弹簧拉长 0,1 m 需作多少功 一、变力沿直线作功 当我们拉长弹簧时，需要克服弹性力作功，由 Hoke 定律，弹性力F与伸长量 x 之间有函数关系： F=kx k ——弹性系数 用微元法 由题设 9.8=0.02k k= 490 要求的是变力所作的功 F=490x 取 x 为积分变量 积分区间为 [0 ,0.1] 弹簧由 x 处拉到 x +dx 处，由 F (x ）的连续性，当 dx 很小时，弹性力F (x) 变化很小，可近似地看作是不变的（常力） 解 于是在小区间 [x， x +dx ]上对应的变力F所作的功近似于把变力F看作常力 F =490x 所作的功 例2 发射火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为 m ，问将火箭垂直地向上发射到离地面高H 时，需作多少功。并由此计算初速度至少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围 解 取 ox 轴竖直向上 x o R R+H 地球半径设为R 质量为M，由万有引力定律， 即 x =R 时 火箭所受的引力就是火箭的重力mg 火箭所受地球的引力 随火箭发射的高度 x 而变化 当火箭在地面上 代入上式 为了发射火箭，必须克服地球引力， 克服地球引力的外力F与 f 大小相等 下面用微元法来求变力所作的功。 取 x 为积分变量 所须作的功 为了使火箭脱离地球引力范围，也 就是说要把火箭发射到无穷远处 则动能为 因此要使火箭脱离地球引力范围，须有 代入上式得 ——第二宇宙速度 这功是由火箭上的动能转化而来，若火箭离开地面时的初速度为 半径为R，高为H 的圆柱形贮水桶，盛满了水，问将水桶中的水全部吸出须作多少功？ 解 这个问题虽然不是变力作功问题，但是由于吸出同样重量不同深度的水时所作的功是不同的，所以也要用定积分来计算。可以理解水是一层一层地被吸到桶口的 在区间 [ y ,y + dy ] 上对应一小薄柱体 该水柱重为 将这一小水柱提到桶口所经过的距离 例3 将以上几例的解法一般化 可得 若一物体在变力 F ( x ) 的作用下，沿力的方向（ox 轴）作直线运动，当物体由 x = a 移到 x = b 时，变力 F ( x ) 对物体所作的功为 由物理学知道，一水平放置在液体中的薄板，其面积为A，距液面的深度为 h ，则该薄板的一侧所受的压力P等于液体的压强 p 与受力面积的乘积，而压强等于深度与比重的乘积，于是 但在实际问题中，往往需要计算与液面垂直放置的薄板一侧的所受的压力，由于薄板在不同深度处压强不同，因而不能直接应用上述公式进行计算，需要采用微元法，利用定积分来计算。 例4 设半径为R的圆形水闸门，水面与闸顶平齐，求闸门一侧所受的压力。 二、液体的侧压力 取坐标系如图 o x y y+dy 2R y 奇函数 偶函数 四分之一圆面积 x 解 边长为 a , b 的矩形薄板，与液面成 角斜沉于液体中，长边平行于液面而位于深 h 处，设 a b 液体的比重为 ，求板的一侧所受的压力。 解 如图建立坐标系 坐标为 x 处液体的深度为 x x+dx a b 例5 得液体的侧压力的计算公式 将以上几例的解法一般化 由万有引力定律：两个质量分别为 相距为 r 的质点间的引力 若要计算一细长杆对