功和功率等最值.ppt

高中数学 选修1-1 南京市第十四中学 新课引入: 导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用. 2.物理方面的应用. 3.经济学方面的应用. (面积和体积等的最值) (利润方面最值) (功和功率等最值) 例1 在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解:设箱底边长为x cm， 箱子容积为V=x2 h 则箱高 V ′=60x－3x2/2 令V ′=0，得x=40, x=0 (舍去) 得V (40)=16000 答：当箱底边长为x=40时,箱子容积最大，最大值为16000cm3． 当x∈(0，40)时V ′(x)＞0； 当x∈(40，60)时V ′(x)＜0； ∴V (40)为极大值，且为最大值． 例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ h R 解:设桶底面半径为R, 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值． 答：当罐高与底的直径相等时，所用材料最省． 3 3 3 变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取， 才能使所用材料最省？ 提示：S＝2πRh＋2πR2 h＝ V(R)＝ πR2＝　(S－2πR2)R＝ SR－πR3 V ′(R)＝0 S＝6πR2 6πR2＝ 2πRh＋2πR2 h＝2R． 例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？ R 解：电功率P＝I2R，其中I＝　　　为电流强度，则 P＝[E/(R＋r)]2R＝ 由P′＝0，解得：R＝r． 列表分析， 当R＝r时，P取得极大值，且是最大值，最大值为 P＝ ． 答：当外电阻R等于内电阻r时，电功率最大，最大 电功率是 ． 例4 强度分别为a，b的两个点光源A，B，它们间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就a＝8，b＝1，d＝3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）． A B P X 3－X 解：如图，设点P在线段AB上，且P距光源A为x， 则P距光源 B为3－x(0＜x＜3). P点受A光源的照度为 （其中，k为比例常数） P点受B光源的照度为 从而，P点的总照度为： 因此，x=2时，I取得极小值，且是最小值． 答：在连结两光源的线段AB上，距光源A为2处的照度最小． 解得x＝2，故当0＜x＜2时，I′(x)＜0；当2＜x＜3时， I′(x)＞0． 例5 在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本 函数，记为C(x)；出售x单位产品的收益称为收益函数， 记为R(x)； R(x)－C(x)称为利润函数，记为P(x). （1）设C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，生产多 少单位产品时，边际成本C′(x)最低? （2）设C(x)＝50x＋10000，产品的单价p＝100－0.01x，怎样定价可使利润最大？ 解：（1）c′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5＝g(x)， g′(x) ＝6×10－6x－0.006＝0， 解得：x＝1000，而g(x)在x＞0上仅有一个极小值，故x＝1000时边际成本最低． （2）P(x)＝ R(x) － C(x) ＝x(100－0.01x)－(50x＋10000) ＝ －0.01x2＋50x－ 10000 ， x＝2500，而P(x)最大，此时P＝100－25＝75． 答：生产1000个单位产品时，边际成本最低；当生产的单价为75时，利润最大． 变式 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为： ，求产量q为何值时，利润L最大？ 分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润． 解：收入 答：产量为84时，利润L最大． 令 ，即 ，求得惟一的极值点 利润 ＋ 四、课堂练习 1．将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成________和________． 2．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为____时，它的面积最大． 3．有一边长分别为8与5的长方