可分离变量微分方程的解法及其应用-池州学院.ppt

二、思路 Thank you for your attention ！ 解初值问题 * * 主讲人 李海燕 池州学院 数学与计算机学院 一、故事梗概 直到20年后，1967年卡内基梅隆大学的科学 家们用微分方程模型解决了真假名画问题。 范. 梅格伦（Van Meegren）“伪造”17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer（维米尔）的名画卖给纳粹分子。 2 原理：著名物理学家卢瑟夫（Rutherford） 指出，物质的放射性（衰变率）正比 于现存物质的原子数 。 1 分析：油画中不可缺少的颜料之一白铅，具有放 射性，其应用已有2000余年，白铅的成分 中包含了少量的镭（Ra226）和少量的放 射性铅（Pb210） 。 我们看下元素衰变示意图 。 矿石中元素衰变示意图： 铀238 镭226 铅210 钋210 铅206 T=45亿年 T=1600年 T=22年 T=138天 白铅 3 建立微分方程： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t), y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。则： 三、解决问题 经验：矿石中铀的最大含量可能 2-3%，若白铅 中铅210每分钟衰变超过3万个原子，则矿 石中含铀量超过4% 。 处理：分析铅210的衰变率，与当时矿物质中放 射性物质含量比较，来判别画的真伪 。 建模： 设t时刻每克白铅中含铅210的数量为y(t)，y0为t0时刻每克白铅中含铅210的数量,镭元素的衰变率为常数r 。 则: 衰变率： 其中 ?, y(t), r均容易测出。 6.0 5.2 欢笑的女孩 1.4 1.5 做花边的人 0.17 8.2 弹曼陀林的妇人 0.3 10.3 读乐谱的妇人 0.26 12.6 洗足 0.82 8.5 Emmaus的信徒们 镭226衰变原子数 （每克每分钟） 钋210衰变原子数（每克每分钟） 画名 假设：第一幅画是真品，则 铅210每分钟每克衰变数值不合理，因此为赝品。 同理可判别其 他画的真伪。 结论： 思考：古尸年代鉴定问题 在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安 德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验 室，作C14年代测定，分析表明，与C12的比例 仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活 在多少年前? C14年代测定：活体中的碳有一小部分是放射性同位素C14，这种放射性碳是由于宇宙射线在高层大气中的撞击引起的，经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度,这意味着在活体中，C14的数量与稳定的C12的数量成定比，生物体死亡后，交换过程就停止了，放射性碳便以 每年八千分之一的速度减少。 设t时刻的原子数为 y(t)，则有 为物质的衰变常数。 设t时刻的原子数为 y(t)，则有 为物质的衰变常数。 初始条件 半衰期 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为