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标准宇宙学运动方程需要进行相对论修正 梅 晓 春 ( 福州原创物理研究所 ) 内容摘要 现有标准宇宙学的运动方程—弗里德曼方程建立在爱因斯坦引力场方程基础上，然而英国物理学家阿瑟·米恩1943年就指出，利用牛顿引力理论可以很简单地导出相同的方程，不含任何相对论修正因子。因此弗里德曼方程实际上牛顿力学意义上的运动方程，不是相对论意义上的运动方程。问题出在导出弗里德曼方程时采用了两个简化条件，一是罗伯逊—沃克度规，二是静态能量动量张量。本文证明，按照罗伯逊—沃克度规，膨胀宇宙中发光天体发出的光满足的伽利略速度相加规则，因此该度规不是相对论意义上的时空度规。另外由于观察者与膨胀宇宙物质之间实际上存在运动速度，宇宙学中我们应当采用动态的能量动量张量。我们应当采用相对论性的时空度规和动态能量动量张量，对弗里德曼方程进行修正。在此基础上建立真正相对论意义上的宇宙学运动方程，使之适用于高速膨胀的宇宙过程。文中讨论了罗伯特—沃特度规曲率常数的真正含义，严格证明当尺度因子常数或时，常数不可能是空间曲率，只能将其视为某种可调的参数。因此建立在弗里德曼方程基础上的许多结果，如哈勃常数、暗物质和暗能量密度等，都应当重新估计文中最后讨论了宇宙学相对论性度规的基本形式。关键词：相对论，引力场方程，宇宙学，光速不变原理，罗伯逊—沃克度规，能量动量张量 从牛顿导出弗里德曼方程 现有标准宇宙学的运动方程—弗里德曼方程建立在爱因斯坦引力场方程基础上。由于引力场方程太复杂难于直接求解，导出弗里德曼方程时采用了两个简化条件，一是罗伯逊—沃克度规，二是静态能量动量张量。不考虑宇宙常数，采用这两个简化条件，从爱因斯坦引力场方程可以得到： （1） 式中是尺度因子，是曲率常数，是宇宙物质密度，是压强。在以上两式中消去，就得到标准宇宙学的弗里德曼运动方程： （2） （1）式的第一个式子和（2）式被成为弗里德曼方程。注意到虽然（1）式中包含压强，（2）式中压强已被自动消去。 然而英国物理学家阿瑟·米恩1943年指出，除了不含宇宙常数项外，利用牛顿引力理论可以很简单地导出（2）式。以下先给出给出阿瑟·米恩导出（2）式的过程，然后讨论两个简化条件引起的问题。 按宇宙学原理可以将宇宙看成各向同性，物质均匀分布的球体。按牛顿引力理论，均匀球体半径处物体受到的引力只与球内质量有关，与球外质量无关。设球体的质量为，是时刻的物质密度。不考虑宇宙物质压强，在球体半径方向上，牛顿运动方程可以写为： （3） 对于膨胀球体，采用随动坐标来描述是方便的，其中与时间无关，（3）式就变为： （4） 上式与（1）式的第一个式子在时的形式完全一样（如果，就要用牛顿流体力学公式代替（3））。考虑到膨胀球体内的质量不变不随时间而变，有关系常数，其中代表当前的时间。令： （5） 代入（4）式，对时间积分后得到： （6） 积分常数相当于弗里德曼宇宙学方程中的曲率常数。（6）式中没有考虑宇宙学常数，爱因斯坦引入宇宙常数是为了能得到一个稳态的宇宙。后来发现宇宙膨胀，爱因斯坦就说，把宇宙常数去掉好了。因此宇宙学中经常取宇宙常数等于零，或者将它并入物质密度项。 可见现有宇宙学的弗里德曼方程在本质上是牛顿引力理论的直接结果，不是相对论意义上的运动方程，因为其中不含任何相对论修正因子。众所周知，牛顿理论被认为是爱因斯坦理论的非相对论近似，当物体的运动速度很小，或者引力场非常微弱时，爱因斯坦理论就退化为牛顿理论。因此对于宇宙膨胀速度大大小于光速的时情况，弗里德曼方程可以适用。但对于高速膨胀的宇宙，诸如高红移超新星和宇宙早期问题，弗里德曼方程就是不适用的。另外牛顿理论建立在平直时空基础上，（6）式中的积分常数与初始状态有关，一般不为零。而按现有宇宙学是空间曲率，对于平直时空。对常数的物理意义的不同理解将对宇宙学产生重大的影响，我们将在第4节中继续深入讨论这个问题。 罗伯逊—沃克度规导致光速的伽利略相加规则 以下我们讨论罗伯逊—沃克度规，证明该度规导致光速的伽利略速度相加规则。因此它描述的是牛顿力学意义上的时空结构，不是相对论意义上的时空结构。按宇宙学原理，我们