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题目： 函数傅里叶变换在物理中的应用 姓名 董昊煜 郑意南 刘书琬 成梦 左晏宁 国志浩 指导教师 苏德矿教授 年级 大一年级 第一部分 函数傅里叶变换在电路通信中的应用 概述： 傅里叶变换是指对某一区域内（或周期函数）分段光滑的函数用正、余弦函数的线性组合来近似原函数。当组合的函数项时，便得到一组形如 的数项级数，称之为傅里叶级数。其和函数 ，分别表示在x 处的左、右极限，故可见当在x处连续时，。 由于傅里叶变换可将一些复杂的函数表示成为某区域上的若干简单三角函数（正、余弦函数）的线性组合，使原函数简单化，故可利用傅里叶变换来处理一些复杂的函数。另外，又由于正余弦函数的奇偶性、周期性及其特殊的和差化积与函数变换特性，使得原函数经傅里叶变换后出现许多“好”的性质，便于我们更方便地研究与原函数相关的一些问题。 在物理学上，傅里叶变换由于其独特的性质而成为了许多物理技术的理论根据，在如电路及通信方面有着非常广泛的应用。 傅里叶级数在电信号中的应用： 事实上，在物理学中，我们常用T表示一个电流或电压信号的周期，用n表示其角频率，则（周期为T）又可表示为： 其中，，； （T = 2l, ） 为了便于研究，常将的上述傅里叶展开式写成仅含一种三角函数的形式，则由三角函数加减运算法则有： ，其中； 或者，其中。 一些典型电信号的傅里叶级数： 周期函数矩形脉冲信号（图1）： 可利用傅里叶变换将周期矩形脉冲信号转换为如下形式的傅里叶变换： 。 该电路信号具有如下特点：频谱离散，相邻两谱线间隔为1个；其直流分量、基波及各谐波分量、大小正比于而反比于；各谱线的幅度按照规律而变化；且有无穷多条谱线，从而周期矩形脉冲信号可分解为无限个三角脉冲信号的线性组合。 在上述例子中，我们不难发现，利用三角形式的傅里叶变换，我们将难以求得的周期矩形脉冲信号分解成了若干个余弦电信号的线性叠加。众所周知，我们日常用到的电基本都是正余弦交流电，因此，利用傅里叶展开，我们便能通过对交流电的线性组合来合成周期矩形电波，当然随n值的增加，合成波的近似度也会随之提高。理论上，当时，误差充分小，周期矩形波便可由这无限个容易获得的正弦波合成。 周期锯齿波信号 示波器是实验室中的常用仪器，其工作原理想必大家都不陌生：X轴方向具有扫描电压，作用是将待测电信号“拉开”以便清晰分析其特征。如图，扫描电压即为一种锯齿波电压（当从左到右扫描时，扫至最右须立即返回左侧，减少递程成像使整个图像连续不断）。扫描电压虽然也是周期电压却不能直接由直流电得到，我们仍需借助傅里叶展开来合成，类似可推导出：。由傅里叶展开可知，周期锯齿波状脉冲电压的信号频谱只有正弦分量，谐波幅度以1/n规律收敛。这些特征为电信号设计及分析提供了的帮助与指导。 周期半波余弦信号（半波整流信号） 同理，可得出半波整流信号的傅里叶展开：，其图像如图。 周期全波信号 同理，周期全波信号的傅里叶展开为：，其图像如图。 以上4种电信号为物理研究中常用的周期脉冲电信号，此外还有很多脉冲信号也是利用傅里叶展开进而进行合成。可见，傅里叶级数在物理中有着广泛应用，对物理学的发展尤其是通讯电信号的传递发面发挥了卓越的作用。 第二部分 波形的傅里叶分析与应用 一、 在物理中，因为波的叠加我们可以把复杂的波拆分成简单的波。傅里叶的研究告诉我们，简谐波使我们能用来构成一般波形的最简单波。任何周期波都可以表示为简谐波的叠加。像脉冲波这样的非周期波可以用傅里叶积分表示。所以任何周期运动都可以表示为简谐运动的叠加。 应用举例：1.傅里叶变换红外光谱仪,简称为傅里叶红外光谱仪。它不同于色散型红外分光的原理，是基于对干涉后的红外光进行傅里叶变换的原理而开发的红外光谱仪。光源发出的光被分束器（类似半透半反镜）分为两束，一束经透射到达动镜，另一束经反射到达定镜。两束光分别经定镜和动镜反射再回到分束器，动镜以一恒定速度作直线运动，因而经分束器分束后的两束光形成光程差，产生干涉。干涉光在分束器会合后通过样品池，通过样品后含有样品信息的干涉光到达检测器，然后通过傅里叶变换对信号进行处理，最终得到透过率或吸光度随波数或波长的红外吸收光谱图。 傅里叶变换红外光谱仪采用的傅里叶变换对光的信号进行处理，避免了电机驱动光栅分光时带来的误差，所以重现性比较好。 2.音乐分析 1　乐理知识介绍 乐音的基本特征可以用基波频率、谐波频谱和包络波形3个方面来描述。 1. 1　基波频率 每个指定音调的唱名都对应固定的基波信号频率。所谓唱名是指平日读乐谱唱出的1(do)、2(re)、3(mi) ……, 每个唱名并未固定基波频率。当指定乐曲的音调时才知道此时唱名对应的频率值。如C调“1”的基波频率为261