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授课单元2教案 授课单元名称 极限与连续 授课学时 8 单元教学 目标 知识目标 1、理解极限的概念，掌握函数在一点处极限存在的充要条件； 2、掌握极限的运算法则和重要极限公式及常用的求极限方法； 3、理解无穷大与无穷小的概念，掌握它们的关系； 4、理解函数连续的概念，掌握初等函数的连续性，知道闭区间连续函数的性质。 能力目标 学会极限思想（求某些实际问题的精确值），能利用极限思想解释一些实际现象 主要教学 知识点 1、极限的概念描述 2、无穷小与无穷大 3、函数极限的计算、两个重要极限 4、函数连续性与性质 教学难点 极限的概念及计算 教材处理 极限的定义只作描述性给出 参考资料 《分层数学》李德才《高等数学》侯风波 教学资源 电子教案、课件 教学方法与手段 启发式、讲练结合 案例教学、多媒体 考核 评价点 极限的计算 连续的应用 教学内容 课题1函数的极限 引例 : 求圆的面积s 用圆内接正多变形的面积近似圆的面积 正四边形的面积, 正六边形的面积，正八边形的面积，，正边形的面积 s 当n 无限增大时，An 无限接近于某个确定的数值就为圆的面积? 这类问题的要点是：为了计算某个量A的精确值，先求A一系列的近似值A1，A2，…An，…（An是n的函数），当n无限增大，从这些近似值的变化趋势中，可看到无限趋近确定值就是A，这种方法称为极限方法，它是高等数学中一种基本方法。 数列的极限 问题的提出 [案例1]【设备折旧费】 某工厂对一生产设备的投资额是l万(即以前各年折旧费用提取后)的那么这一设备的账面价格(单位：万元)第一年为l，第二年为第三年为第四年为…, ，第n年为0， 的极限 即【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣服时，清洗次数越多，衣服上残留的污质就越少．当 2、数列的概念( 按照一定次序排列的一列数 x1( x2( x3( ( ( ( ( xn ( ( ( (叫做数列( 记为{xn}( 其中第n 项xn 叫做数列的一般项( 数列的例子( {}( ( ( ( ( ( ( ( (?(?(( {2n?( 2( 4( 8( ( ( ( ( 2n ( ( ( (( {}( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( {?( 1( (1( 1( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 它们的一般项依次为 ( 2n( ( 注意( （1）数列{xn}可以看作数轴上的一个动点( 它依次取数轴上的点x1( x2( x3( ( ( ( ( xn ( ( ( (( （2）数列{xn}可以看作自变量为正整数n 的函数( xn(f (n)( 3、数列极限的定义 对于数列{xn}( 如果当n 无限增大时( 数列的一般项xn无限地接近于某一确定的数值A, 则称常数A 是数列{xn}的极限( 或称数列{xn}收敛A( 记为( 如果数列没有极限( 就说数列是发散的( 例如 (( 而{2n}( { ((1) }( 是发散的( 例:考察数列的变化趋势，写出他们的极限： (1) (2) (3)(C为常数) 解： (3) 函数的极限 函数的自变量有几种不同的变化趋势( x的绝对值|x|无限增大( x((, x无限接近x0 ( x(x0 案例1[水温的变化趋势 ] 将一盆800C的热水放在一间室温为200C的房间里，水的温度将逐渐降低，随着时间的 推移，水温会越来越接近室温200C。 案例2[自然保护区中动物数量的变化规律] 在某一自然保护区中生长的一群野生动物，其群体数量会逐渐增长，但随着时间的推移，由于自然环境保护区内各种资源的限制，这一动物群体不可能无限地增大，它应达到某一饱和状态，饱和状态就是时间时野生动物群的数量． （一）x((时，f(x)的极限 表示自变量的绝对值无限增大。为了区别起见，把且|x|无限增大，记为；且|x|无限增大，记为。 x→∞ 例1 利用图像考察函数，当时的变化趋势 解： 如图示：当（包括x→+∞，x→－∞）时， （1）定义：设函数f (x)当|x|大于某一正数时有定义。如果当|x|无限增大时，函数f (x)无限趋近于确定的常数A，则称A为x→∞时函数f (x)的极限。记作： 或 如 （2）若只当x→+∞（x→－∞）时，函数趋近于确定的常数A， 记为 （3）定理： 例：求