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12-9二阶常系数齐次线性微分方程-青岛滨海学院.ppt
微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 * Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics * Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University 04-03-03 Teaching Plan on Advanced Mathematics 青岛滨海学院本科部 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 n阶常系数线性微分方程的标准形式 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 -----特征方程法 将其代入上方程, 得 故有 特征方程 特征根 ? 有两个不相等的实根 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 特征根为 ? 有两个相等的实根 一特解为 得齐次方程的通解为 特征根为 ? 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 特征根为 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法. 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例1 例2 求方程 满足初始条件 的特解。 解 所给方程的特征方程为 其根为 所求方程的通解为 将条件 带入上式 所求方程的特解为 解 特征方程为 解得 故所求通解为 例3 特征方程为 特征方程的根 通解中的对应项 注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数. 例4 求方程 的通解。 解 特征方程为 解得根为 和 因此所给微分方程得的通解为 特征根为 故所求通解为 解 特征方程为 例5 二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. (见下表)
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