1常微分方程.ppt

五 积分曲线和方向场 1 积分曲线/Integral Curve(s)/ 一阶微分方程 称为微分方程的积分曲线. 2 方向场/Directional Pattern/ 在方向场中,方向相同的点的几何轨迹称为等斜线. 所规定的方向场. 例5 例6 积分曲线 方向场 方向场示意图 积分曲线 例7 例8 画出方程 的方向场。 等斜线方程 即 也就是说，方向场中每点的方向与该点等倾线垂直。 x y o §1.2 Basic Conception 例9 画出方程 的方向场。 等斜线方程 x y o ，拐点线方程 §1.2 Basic Conception 练习题1 编号 微分方程 自变量 未知函数 常或偏 阶数 是否线性 1 2 3 4 §1.3 Exercise 练习题2 编号 函数 微分方程 初始条件 1 2 3 4 §1.3 Exercise 练习题3 求下列曲线族所满足的微分方程 §1.3 Exercise 作业/Homework/ 4. 给定一阶微分方程 （1）求出它的通解. （2）求出通过点（1,4）的特解. （3）求出与直线 相切的解. （4）求出满足条件 的解 （5）画出上述解的图形。 5. 求出下列两个微分方程的公共解 （1） （2） 6. 求微分方程 的直线积分曲线. 9. (5) (6) §1.3 Exercise 习题答案/Answer/ 6. 解 ：设 是其直线型解，则把 代入原微分方程 §1.3 Exercise 习题： p15. 2(1、3、5)； 3（1、3、5、7）； 4 第一章 绪 论  Introduction §1.2 基本概念 第二节 基本概念 定义1: 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程. 例1：下列关系式都是微分方程 一、常微分方程与偏微分方程 /ODE and PDE/ 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程. 都是常微分方程 1.常微分方程 如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程. 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程 如 都是偏微分方程. 定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 是一阶微分方程； 是二阶微分方程； 是四阶微分方程. 二、微分方程的阶/Order/ 如: n阶微分方程的一般形式为 是线性微分方程. 三 线性和非线性/Linear and Nonlinear ODE/ 如 1.如果方程 是非线性微分方程. 如 2.n阶线性微分方程的一般形式 不是线性方程的方程称为非线性方程 四 微分方程的解/Solution/ 定义4 例2 证明: 1 显式解与隐式解 相应定义4所定义的解为方程的一个显式解. 隐式解. 注:显式解与隐式解统称为微分方程的解. 例如 有显式解: 和隐式解: 通解与特解/General Solution and Special Solution/ 定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解. 例如: n阶微分方程通解的一般形式为 注1: 例3 证明: 由于 故 又由于 注2: 注3: 类似可定义方程的隐式通解, 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该 方程的隐式通解. 以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为方程的特解. 例如 定义6 3 定解条件/Initial Value Conditions/ 为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解