二阶常系数非齐次线性微分方程由二阶常系数非齐次线性微分方程解的.PDF

二階常系數非齊次線性微分方程 由二階常系數非齊次線性微分方程解的結構定理知 ，二階常系數非齊次線性微分 方程式   的通解是對應的齊次線性微分方程的通解與其 y p (x )y q (x )y f (x ) 自身的一個特解之和 ，而求二階常系數齊次線性微分方程的通解問題已經解決， 所以只需討論求二階常系數非齊次線性微分方程的特解 y的方法 。 p 以下介紹當自由項f (x屬) 於某些特殊類型函數式的求特解方法 。 1. f (x ) e xPm (x )型 由 於右端函數 f (x是指數函數) ex 與m 次多項式P (x的乘積) ，而指數函數與多項 m 式的乘積的導數仍是這類函數，因此 ，我們推測 ： 方程式   的特解應為 y e xQ (x ) (Q(x)是某個次數待定 y p (x )y q (x )y f (x ) p 多項式) ，則  x x   2 x x  x  y p e Q (x ) e Q (x ), y p e Q (x ) 2e Q (x ) e Q (x ) 代入方程 式   ，整理得 y p (x )y q (x )y f (x ) x   2 x e [Q (x) (2p)Q (x) (p q )Q(x)] e P (x) m 消去ex ，得   2 Q (x) (2p)Q (x) (p q)Q(x) P (x) m 上式右端是一個 m 次多項式 ，所以 ，左端也應該是 m 次多項式 ，由於多項式 每 求一次導數，就要降低一次次數 ，故有三種情況 ： 2   (1) 如果p q 0 即， 不是齊次線性微分方程式 的特征方 y py qy 0 程 式r2 pr q 0的根 。由 於P (x)是一個 m 次的多項式 ，欲使 m   2 Q (x) (2p)Q (x) (p q)Q(x) P (x) m 的兩端恒等 ，那未Q(x) 必為一個m 次多項式 ，設為 Q(x) Q (x) b xm b xm1 b x b m 0 1 m1 m 其中b ,b , ,b ,b 為m+ 1個待定系數 ，將之代入恒等式 0