对二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一点讨论.PDF

对二阶常系数非齐次线性微分方程特解的一点讨论  王赋翼 【摘 要】 在常微分方程的学习与研究中，求 n 阶常系数非齐次线性方程的特 解是一个难以避开的问题，当自由项的函数略为复杂一点，利用教材中的待定系 数法计算求特解就很容易出错. 本文针对这种情况，给出了一种较为简便的方 法，改进了计算。 【关键词】 非齐次微分方程，待定系数法，特解 1 引言 《微积分》教材中求常系数线性非齐次微分方程的特解需要首先要根据方程自由项的形 式以及对应齐次方程的特征根确定特解Y* 的形式，再将Y*求导代入方程确定特解中各待定 系数. 当特解形式略为复杂一点，其求导运算及化简运算都容易出错.为减少计算量，我们在 确定Y* 以及代入方程的方法上作一点改进，就可使运算量有效减少.下面我们针对微分方程 自由项的两种情况给予具体的说明. 设二阶常系数非齐次线性方程为 y py qy f x (1)   2 自由项为f x P (x )ex 的情形   m x  P (x) 若 ，其中 是已知常数， 是已知的 次多项式. f x P (x )e m   m m 令 * x （ 为待定多项式错误！未找到引用源。）是方程（1）的一个特 y P x e P x     解, 由于 y * P x ex   , y * P x P  x e x      , *  2    x y  P x 2P x P x e        , 代入方程(1)并消去错误！未找到引用源。,得   2 P x 2 p P x  p q P x P x      (2)           m   2 （I）当不是对应的齐次方程的特征