【二轮精品】届高三数学二轮复习精品教学案：【专题一】数形结合思想.docVIP

【专题一】数形结合思想 【考情分析 数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是： 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决1．数形结合的途径 1）通过坐标系形题数解 这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）。 常见方法有： ①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 ②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。 ③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 （2）通过转化构造数题形解.例如，将a＞0与距离互化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2－2与余弦定理沟通，将a≥b≥c＞0且b+c＞a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平面的或立体的）另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用2．数形结合的原则 1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导2）双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化3）简单性原则就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法-2x-3≤0}, 则A∩（CRB）=（ ） A．．．．-2x-3≤0}=，A∩（CRB）={x|1＜x＜4}=。故选B. 点评：不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。 （2）（2011湖南文1）设全集则（ ） A． B．　　　Ｃ．　　　 Ｄ．B；解析：画出韦恩图，可知。 点评：本题主要利用数轴、韦恩图考查集合的概念和集合的关系。 （3）（2012高考真题重庆理10）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 解析：D；由可知或者，在同一坐标系中做出平面区域如图，由图象可知的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为，选D. 题型2：函数图像的价值 例2．（1）（2012高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面