【步步高】届高三数学大一轮复习立体几何中的向量方法Ⅱ求空间角距离教案理新人教A版.docVIP

§8.8　立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离 2014高考会这样考　1.考查用向量方法求空间角的大小；2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点)． 复习备考要这样做　1.掌握空间角的定义、范围，掌握求空间角的向量方法；2.会利用向量方法对距离进行转化． 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角θ满足cos θ＝|cos〈m1，m2〉|. (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． 2°如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉． 2.点面距的求法 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. [难点正本　疑点清源] 1． 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化．主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算． 2． 利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补． 3． 求点到平面距离的方法：①垂面法：借助面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②等体积法，转化为求三棱锥的高；③等价转移法；④法向量法． 1． 若平面α的一个法向量为n＝(4,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3,3)，则l与α所成角的正弦值为___________． 答案　 解析　∵n·a＝－8－3＋3＝－8，|n|＝＝3， |a|＝＝， ∴cos〈n，a〉＝＝＝－. 又l与α所成角记为θ，即sin θ＝|cos〈n，a〉|＝. 2． 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角为________． 答案　30° 解析　由题意得直线l与平面α的法向量所在直线的夹角为60°，∴直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°. 3． 从空间一点P向二面角α—l—β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，垂足分别为E，F，若二面角α—l—β的大小为60°，则∠EPF的大小为__________． 答案　60°或120° 4.如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________． 答案　a 解析　由图易知A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A′(a,0，a)． ∴F，E. ∴EF＝ ＝＝a. 5． 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中点，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________． 答案　 解析　以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， ∴F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)， ∴＝(－1,0,2)，＝(－1,1,1)， ∴cos〈，〉＝＝. 题型一　求异面直线所成的角 例1　如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影． (1)证明：直线FG1⊥平面FEE1； (2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值． 思维启迪：本题可方便地建立空间直角坐标系，通过点的坐标得到向量坐标，然后求解． (1)证明　以D为原点，、、分别为z轴、y轴、x轴的正向，||为1个单位长度建立空间直角坐标系． 由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)， ∴＝(0,1，－1)，＝(0，－1，－1)，＝(－1,0,0)， ∴·＝0，·＝0⊥，⊥， 又∵EE1∩FE1＝E1.∴FG1⊥平面FEE1. (2)解　由题意知点A的坐标为(2,0,0)， 又由(1)可知＝(1，－2，－1)，＝(0，－2,0)， ∴cos〈，〉＝＝， ∴sin〈，〉＝＝. 探究提高　用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cos θ＝|cos α|. 如图所示，在长方体ABCD—