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三 方势垒的穿透 隧道效应 ( 1 ) 散射问题和势垒穿透 一个粒子从无穷远处来，被势垒散射再到无穷远处去。 ●特点： ◆ 波函数在无穷远处不为零； ◆ 粒子的能量可以取任意值，组成连续谱。 ◆ 求解散射问题，是由已知能量E来求定态薛定谔方程的解；也就是求出一个动量和能量已知的粒子，在受到势场的作用后，被散射到各个方向去的概率。 ● 一维问题 一个粒子被散射后，或者穿透势垒，或者被势垒反射。 要求透射概率和反射概率。 能量为E的粒子沿x轴正方向射向方势垒： 图5 - 7 一维方势垒 (5. 94) 在经典力学中，只有能量E大于V0的粒子才能越过势垒运动到x a的区域；能量E小于V0的粒子运动到势垒左边缘x=0处就会被反射回去，不能穿过势垒。 从量子力学的观点来看，考虑到粒子的波动性，这个问题与波碰到一层厚度为a的介质的问题相似，其结果是有一部分波透过，一部分波被反射。因此，按照波函数的统计诠释，无论粒子能量E是大于V0还是小于V0，都有一定的概率穿透势垒，也有一定的概率被反射。 这里我们只具体计算E V0的情况。 ( 2 ) 势垒外部的定态薛定谔方程及其解 在势垒外( x 0或x a )，定态薛定谔方程可表示为 . (5. 95) 它的两个线性无关解可取为 和 , 其中k由确定。 假设粒子从左边入射， 在x 0区域： 入射波， 反射波； 在x 0区域： 透射波()。 为了简便，将入射波的波幅取为1，入射粒子流密度为 , (5. 96) 因此，可以取 (5. 97) 透射波和反射波都是德布罗意波。 相应的反射流密度和透射流密度为： , . (5. 98) 得： 反射系数＝， 透射系数＝. ( 3 ) 势垒内部的定态薛定谔方程及其解 在势垒内部当0≤x≤a时，定态薛定谔方程可表示为 , (5. 99) 其通解可取为 (5. 100) 其中 . (5. 101) 势垒内部的波是指数衰减的，衰减的快慢依赖于V－E 和势垒宽度。如果势垒宽度足够小，衰减不到零，粒子就有足够的概率穿过势垒，这就是粒子的波动性所导致的隧道效应。 R＝？， T＝？ ( 4 ) 由波函数及其导数的连续性条件定解 已知 和 ， 考虑连续性条件： 在处， ; 在处， . 由以上四式中消去A和B, 可解得： , (5. 102) , (5. 103) . (5. 104) 图5 - 8 隧道效应的波动图象 ( 5 ) 隧道效应和扫描隧道显微镜 粒子能穿透比动能更高的势垒的现象 隧道效应是微观粒子具有波动性的表现 图5 – 8为势垒穿透的波动图象。 隧道效应对势垒宽度十分敏感 如一个(粒子穿过一个势垒： 势垒宽度a 透射系数 1MeV 10(4 1MeV m， 对于宏观物体，隧道效应在实际上已经没有意义。 电子的隧道效应 在两层金属导体之间夹一薄绝缘层，就成为一个电子的“隧道结”。在玻璃片基上沉淀一铝箔，在高温中使其表面氧化，然后再沉淀一层Sn箔，做成一个Al/Al2O3/Sn隧道结。Al和Sn箔厚约1000－3000A0。绝缘层Al2O3厚约10－20 A0。但实验发现电流可以通过这个隧道结，即电子可穿过绝缘层。I. Giaever于1961年首先用这种器件发现了超导体中正常电子的隧道效应。 ● 扫描隧道显微镜(Scanning Tunneling Microscopy)。 隧道效应对势垒高度V和宽度a的变化十分敏感。据此，宾宁和罗勒于1982年制成了扫描隧道显微镜。用一金属探针在被观察的金属表面上方相距约10 A0处平行移动进行扫描，于是探针、空气隙、金属表面构成一个电子隧道体系。加一微小电压，从隧道电流的变化，就可以分辨出金属表面原子结构的细微特征。 利用STM可以分辨表面上离散的原子，显示出表面上原子的台阶、平台、原子阵列、以至于可直接绘出表面的三维图象，横向分辨率达0.1 nm，纵向分辨率达0.01 nm. 扫描隧道显微镜使人类第一次能够实时地观测单个原子在物质表面上的排列状态以及与表面电子行为有关的性质，在表面科学、材料科学和生命科学等领域的研究中有着重大的意义和广阔的应用前