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乌鲁木齐地区2011年高三年级第次诊断性测验 文理科数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选 项 C D B D C 文理 A C 文理 D C 1．选C【解析】，∴．故选C选C【解析】，对应点．故选C选【解析】∥，，得，又平面，∴，①对； 由，得或∥，与可能平行、相交、异面；②错； 由∥，又，∴，而平面，∴，③对； 由，又，则或∥，④对．故选D ． 4．选B【解析】，，根据题意有， 即，∵是上的点，∴，即．故选B选【解析】必过，而， ∴，而，∴．故选选【解析】个单位之后， 解析式化为，此函数为偶函数，故 ，，故，，当时，，此为的最小值．故选选【解析】得，或解得，故选选D【解析】，根据题意有，即，则能被整除，且，只有符合要求．故选D选A【解析】，∴， 又，所以或， 若，则，与已知矛盾． 故，又，∴，而由得， 于是．故选A选【解析】且时，∵为增函数； 当在上为增函数任取，且，则恒有，即不等式恒成立． ①若，则有恒成立，又，∴，即恒成立，而，这样有； ②若，则有恒成立，又，∴，即对于恒成立，这样的不存在．综合①②，在上为增函数且． ∴在上为增函数的充要条件是且．故选选【解析】在双曲线上 ∴ ∴① 在中，由余弦定理知 又 ∴② 由①，②知③由①，③知，故选选【解析】，当轴时，，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程为，与联立，消去，得，当时，不合题意； 当时，， ∵ 将，，代入上式，解得 ∴这样的直线有3条．故选选D【解析】得，，又， ，， ∵，∴，进而，故选D选【解析】，，而由题意得，根据抛物线的定义得，，即， 易知（否则，此时点与点或点重合，与已知矛盾） ∴线段的斜率为，于是线段的垂直平分线的方程为，即，令，解得，即线段的垂直平分线过定点．故选二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） ．【解析】，∴在点处的切线斜率， ∴所求方程是，即． （理科）填．【解析】． 14．填．【解析】，上底面是边长为的正方形，下底面是边长为的正方形，∴． 15．填．【解析】有零点，则方程有实根，则有，即．在平面直角坐标系内画出不等式组①与②表示的平面区域，易知不等式组①表示的平面区域的面积是，不等式②表示的平面区域的面积是，故概率为． 16．填．【解析】∴ ∴ ≤ 当且仅当时，等号成立． 三、解答题（共70分） 17．（本小题满分12分） 时，，∴， 当时，，，两式相减，得， 整理得∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴． ┅6分 （Ⅱ），易知，对于，总有 成立，只须，即，∴的最大值为． ┅12分 18．（本小题满分12分）（1）人，130分以上的人数为人，所以成绩在130分以上（含130分）的频率为，即成绩在130分以上（含130分）的概率大约是； ┅6分 （Ⅱ）设表示事件“从130分以上（含130分）的成绩中随机选2名同学，至少有1名同学成绩在区间内”． 由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，记这4人分别为，成绩在区间内的学生有2人，记这2人分别为． 则选取学生的所有可能结果为：，，，，，，，，，，，，，，，基本事件数为15． 事件“至少1人成绩在区间”的可能结果为：，，，，，，，，，基本事件数为9． ∴． ┅12分 （理科） 由题意知的所有可能取值为3,4,5,6，设表示“第个袋中取出的是白球”，，则相互独立，且 故的概率分布列为 3 4 5 6 ┅12分 19．（本小题满分12分）中点，连结， ∵//， ，∴，， ∴四边形是平四边形，∴ ∴（或其补角）就是异面直线与所成角， ∵平面， ∴平面 在中，，，∴ 在中，，，∴ 在中，； ┅6分 （Ⅱ）取中点，连结， ∴，，， ∴，，∴ ∵，∴，又平面，∴ ∴平面，于是平面，而平面， ∴平面平面，且平面平面， 又，∴，∴平面 ∴的长就是到平面的距离，在中，．┅12分 (理科) （Ⅰ）∵，， ∴平面，∵平面，∴ ∵，为的中点， ∴ ∵平面，平面， ∴面 ┅6分 （Ⅱ）取的中点，则∥，∵ ∴，又面 如图建立坐标系，则，，，，， 易得：平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 而，, ∴ ∴ 设所求角为，由，得．