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2012年安庆市高三模拟考试（二模） 数学（理科）试题参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.C 2.D 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.B 9.D 10.A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.2.6 12.－1 13.7 14.-160x 15.（1）（2）（4）（5） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）在中，∵， [来源:学§科§网]…2分 又∵ ………3分 ; ………6分 （Ⅱ）由正弦定理知： ………9分 . ………12分 17．（本题满分12分） 解（Ⅰ）∵， 当 即， 又 故数列是等差数列.且; ………4分 （Ⅱ）∵ ………6分 ∴ ………7分 先求数列的前项和. ∵ . ………12分 18.（本题满分12分） （Ⅰ）如下表： [来源:Z#xx#k.Com]…2分 假设：是否会俄语与性别无关.由已知数据可求得 所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关;………5分 （Ⅱ）; ………8分 （Ⅲ）会俄语的人数的取值分别为0,1,2.其概率分别为 , ………10分 所以的分布列为： 0 1 2 P . ………12分 19．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，∵，又AD=DC=AB,可证BC⊥AC, [来源:Zxxk.Com]…2分 又∵平面ACFE⊥平面ABCD，且平面ACFE∩平面ABCD=AC, ∴BC⊥平面ACFE；………4分 （Ⅱ）以A为原点，分别以AB、AD、AE为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设AE=a,则D(0, 2a,0),B(4a,0 ,0),E(0,0,a),F(2a,2a,2a), ………6分 设 平面BEF,平面DEF, ， 则， ………8分 ， ………9分[来源:Z*xx*k.Com] 故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是. ………12分 [来源:Z_xx_k.Com]的距离为， 直线l被圆O截得的弦长2a=,∴a=2, 又，解得， ∴椭圆C的方程为：; ………4分 （Ⅱ）∵,∴四边形OASB是平行四边形. 假设存在这样的直线l,使四边形OASB的对角线长相等, 则四边形OASB为矩形，因此有, 设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则. ………7分 直线l的斜率显然存在，设过点（,0）l方程为：， 由，得， 由，即. ………9分 , 由得：，满足Δ0. ………12分. ………13分 ∴当、时，在区间、上单调递减. 当时，在区间上单调递增. ………3分，得．，且等号不能同时取得，∴， ∵对任意，使得恒成立， ∴对恒成立，即．) 令，求导得，， ………5分， ∴在上为增函数，，．…7分， 假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧. 不妨设，则． ∴， …（※）， 是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．…9分时，，化简得，对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q； ………11分 若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q； 若a0时，有…（▲）， 设，则， 显然， 当时，，即在上为增函数， 的值域为，即， 当时，不等式（▲）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q. ………13分上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上.