三角学的历史对任意角三角函数的教学启示.PDF

數學傳播 卷 期 三角學的歷史對任意角三角函數的 教學啟示 楊孝斌 摘要: 三角學的發展歷史表明, “比”的關係一直貫穿著整個三角學的發生發展史, 三 角函數的定義的本質應是 “三角比”, 即與角有關的線段 (或有向線段) 之比。 國中的 銳 角三角函數是採用 “三角比”來定義的, 這正是初高中三角函數知識 的銜接點。 高 中討論的是任意角的三角函數的定義 , 主要 以平面直角坐標 系中點的坐標為研究工 具。 點的坐標並不是三角函數的定義 中的最本質的東西, 最本質的是 “比”的關係。 教 師在教 學中應開展基於三角學發展史的教學設計 , 幫助學生理解任意角三角函數定 義的本質 關鍵字:教 育取向的數學史研究; 三角學; 三角函數 ; 數學教學。 引言 開展教育取向的數學史研究 數學史家李文林先生認為, 數學史的研究具有三重 目的: 一是歷史的目的, 即恢復歷史的 本來面 目; 二是數學的目的, 即古為今用, 為現實的數學研究與自主創新提供歷史借鑒; 三是教 育的目的, 即在數學教學中利用數學史, 這在當前已成為一種國際現象。 數學教師要重視數學史在數學教學中的意義和作用, 要學習與教學內容有關的數學史實, 並在數學教學中展現數學知識的發現歷程, 讓學生瞭解數學知識的來龍去脈。 展現數學知識的 發現過程, 不是簡單敘述數學史實, 重複數學家的 “原發現過程”。 而是需要教師開展教育取向的 數學史研究, 將數學知識的 “學術形態”轉化為 “教育形態”, 從中獲得對數學教學的啟示, 引導 學生重走數學發現之路。 所謂教育取向的數學史研究, 就是從課程與教學的角度出發, 對數學史的相關內容進行教 學法加工和方法論重建, 以實現數學史研究的教育 目的。 其主要方法是通過對數學史的壓縮、 整 三角學的歷史對任意角三角函數的教學啟示 合、 刪繁就簡、 提煉數學思想方法等, 並在此基礎上結合教學內容進行基於數學史和數學思想方 法的教學設計。 教育取向的數學史研究, 其最終 目的是利用知識的發生學原理, 在數學教學中借鑒數學家 研究數學的經驗和數學知識發生發展的理論。 然而, 數學家研究數學的經驗、 數學知識發生發展 的理論對數學教學的指導也是有限的, 因為學校數學和科學數學是兩種不同形態的數學, 而且 學生也無法在有限的時間內重複數學家們所走過的漫長道路。 那麼, 數學教學如何借鑒數學家 研究數學的經驗呢? 以下以 “三角學發展簡史”與 “任意角的三角函數的教學”為例, 探討如何在數學教學設計中 借鑒數學家研究數學的經驗。 三角學發展簡史[2] (1) 三角學概述 三角學這門學科是從確定平面三角形和球面三角形的邊和角的關係開始的, 其最初的研究 目的是為了改善天文學中的計算。 古代三角學的萌芽可以說是源出於古希臘哲學家泰利斯 (Thales, 約前 624-前 547) 的相似理論。 古希臘天文學家喜帕恰斯 (Hipparchus, 約前 190 年∼前 125年), 曾著有三角學 12卷, 可以認為是古代三角學的創始人。 到 15世紀, 德國的雷格蒙塔努斯 (J. Regiomontanus, 1436∼1476) 的 《論三角》 一書 的出版, 才標誌古代三角學正式成為獨立的學科。 這本書中不僅有很精密的正弦表、 餘弦表等, 而且給出了現代三角