第60讲 空间角及其计算.doc

第65讲 空间的角. 【知识扫描】 1、异面直线所成的角：范围 ① 平移法：过空间上一点（注意取图形中的特殊点）作、，则与所成的锐角或直角就是异面直线所成的角；（书写时要分三步：作— 指— 求） ② 证明，则与的夹角为； ③ 向量法：求，（)，再确定异面直线与所成的角()。 2、直线与平面所成的角：范围 ① 定义法：找出直线在平面内的射影（射影怎么找），则锐角就是直线与平面所成的角；（书写时要分三步：作— 证— 求） ② 证明(或)，则直线与平面所成的角（或）； ③ 向量法：求与的法向量所成的角，则直线与平面所成的角为或，总之有。 3、二面角 ① 直接法：直接作出二面角的平面角（书写时要分三步：作—证— 求）； ② 向量法：设平面的法向量与平面的法向量所成的角为，则所求的二面角为 或（要依图形确定是取，还是取）。 【考计点拨】 牛刀小试： 1．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ） A． B． C． D． 2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=BB1,则AB1与C1B所成的角的大小为 A.60o B. 90o C.105o D. 75o 3．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是 （ ） A． B。 C。 D。 4．在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于 （ ） A． B． C． D． 5．棱长都为2的直平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，∠BAD=60°，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成角的正弦值为 （ ） A． B． C． D． 典例分析 考点一：异面直线所成的角 例1. 如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1 —BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成 的角的大小． 规律小结：求异面直线所成角的法 ① 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； ② 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角．变式训练1：的底面为一直角梯形，其中，底面，是的中点． （1）求证：//平面； （2）若平面， ①求异面直线与所成角的余弦值；??????? ②求二面角的余弦值． 解：设，建立如图的空间坐标系，，,，. （1），，所以，?? 平面，平面.?????????????? （2）平面，，即???? ，，即. ①，，所以异面直线与所成角的余弦值为；??????????????? ②平面和平面中，，所以平面的一个法向量为；平面的一个法向量为；，所以二面角的余弦值为．????? 考点二：线面角 例2. ABC—A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=AA1=2，D是AB的中点. （1）求AC1与平面B1BCC1所成角的正切值； （2）求证：AC1∥平面B1DC； （3）已知E是A1B1的中点，点P为一动点，记PB1=x. 点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A1→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P—BCC1的体积表达式V（x）. 解：（1）∵直三棱柱ABC—A1B1C1，∴B1B⊥面ABC， ∴B1B⊥AB. 又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC1B1. 连结BC1，则∠AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角. 依题设知，BC1=2，在Rt△ABC1中， （2）如图，连结DF，在△ABC1中，∵D、F分别为AB、BC1， 的中点， ∴DF∥AC1，又∵DF平面B1DC，AC1平面B1DC， ∴AC1∥平面B1DC. （3）PB1=x， 当点P从E点出发到A1点，即时，由（1）同理可证PB1⊥面BB1C1C， 当点P从A1点运动到A点，即时，. ∴三棱锥P—BCC1的体积表达式 规律小结：求线面角的法：作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影．变式训练2：、分别是正四棱柱上、下底面的中心，是的中点，. （1）求证：∥平面； （2）当时，求直线与平面所成角的大小； (3) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?