2014全国卷(理科数学)精准解析.doc

2014·全国卷(理科数学) 1．[2014·全国卷] 设z＝，则z的共轭复数为(　　) A．－1＋3i B．－1－3i C．1＋3i D．1－3i 1．D　[解析] z＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i. 2．、[2014·全国卷] 设集合M＝{x|x2－3x－40}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　) A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0] 2．B　[解析] 因为M＝{x|x2－3x－40}＝{x|－1x4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1x4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x4}． 3．[2014·全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) A．abc B．bca C．cba D．cab 3．C　[解析] 因为b＝cos 55°＝sin 35°sin 33°，所以b＞a.因为cos 35°1，所以1，所以sin 35°.又c＝tan 35°＝sin 35°，所以cb，所以cba. 4．[2014·全国卷] 若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝(　　) A．2 B. C．1 D. 4．B　[解析] 因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝0，即|a|2＋b·a＝0.因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0，即2a·b＋|b|2＝0，与|a|2＋b·a＝0联立，可得2|a|2－|b|2＝0，所以|b|＝|a|＝. 5．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　) A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 5．C　[解析] 由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)． 6．[2014·全国卷] 已知椭圆C：＋＝1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 6．A　[解析] 根据题意，因为△AF1B的周长为4，所以|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，所以a＝.又因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. 7．[2014·全国卷] 曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于(　　) A．2e B．e C．2 D．1 7．C　[解析] 因为y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线斜率是2. 8．、[2014·全国卷] 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　) A. B．16π C．9π D. 8．A　[解析] 如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝. 9．[2014·全国卷] 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　) A. B. C. D. 9．A　[解析] 根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝ ＝. 10．[2014·全国卷] 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 10．C　[解析] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，根据题意可得，解得所以an＝a1qn－1＝×＝2×，所以lg an＝lg 2＋(n－4)lg，所以前8项的和为8lg 2＋(－3－2－1＋0＋1＋2＋3＋4)lg＝8lg 2＋4lg＝4lg＝4. 11．[2014·全国卷] 已知二面角αlβ为60°，AB?α，AB⊥l，A为垂足，CD?β，C∈l，∠ACD＝135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 11．B　[解析] 如图所示，在平面α内过点C作CF∥AB，过点F作FE⊥β，垂足为点E，连接CE