演绎专题式纵向延伸——以“三等分角”的探究为例.pdf

上海中学数学·2014年第7～8期 演绎专题式纵向延伸 ——以“三等分角的探究为例 201405 上海市奉贤区泰日学校 张忠华 波利亚指出：“拿一个有意义的问题去深入挖 的探究创造了条件． 掘，这样就使得通过这道题好像通过一道门户，把问 探究2“学起于思，思起于疑”，数学中许多精 题的解答引向一个完整的领域．”专题式纵向延伸， 彩的结论都源于猜想，提出一个问题并解决一个问 就是通过对习题的深入探究，直接指向问题的心脏， 题至关重要．从新的角度去思考旧问题，更需要创造 揭示数学问题的本质，其重点关注问题的“是什么?” 性的想象力，标志着思维层次的提高． “为什么?”“还有什么?”并通过对解题过程的分析、 上述问题背景切换，提出新的思考即问题3． 反思与归纳，以题为源，以题为根，积极探索，概括问 问题3 已知锐角么MON，点P为oM上一 题的本质特征． 点，以P为圆心，以20P为半径在么MON内部作 弧，设点A为弧上一点，过点A作平行于ON的直 一、专题式“纵向延伸”问题研究 线，与过点P且垂直于oN的直线交于点B，射线 【一)引入基本图形，逐渐延伸 0B交PA于点C(如图3)． 问题1 如图1，Rt△ABC中，么ACB一90。，E 是AB的中点，射线￡C上有一点C，且AD一 1 ÷AB．求证：么D一2么B． 厶 分析：此题是八年级第一学期课本例题的变 式，主要运用直角三角形斜边上的中线等于斜边一 半进行问题突破． 图3 解：因为Rt△ABC中，E是斜边AB中点， 1 结论点A的位置变化，则点C的位置也随之 可得cE—AE—BE=寺AB，所以么BcE=么B， 厶 发生变化，若点A在某个特定位置时存在点C恰好 1 又因为AD一÷AB，所以AD—AE，所以么D 厶 么CBA． 一么CEA． 因为BC—AC，所以么CAB一么CBA， 因为么CEA一么B+么BCE一2么B，故么D一2 即么POC=2么CBA． ／B． 因为AB∥ON，所以么PoC一2么CDN， 即么MoN一3么BON． 思考2：这是一个妙趣横生的美妙思考，这样的 纵向延伸思考演绎出著名的数学命题：“三等分角” D 问题．迄今为止，虽然还无法用“尺规”解决这一作图 图1 图2 问题，其在一定的条件下是不可能的，但在特定的背 (二)纵向深入。明确探究方向 景下，或许成为可能．从上述问题的思考中，弧上A 探究1将上述问题作进一步纵向挖掘，有问 点的确定是问题的关键所在，若能满足点0、B、C 题2． (点C为AP中点)三点共线，则问题