166-高中数学选修系列2_选修2-2《微积分基本定理与定积分计算》教案1.doc

§3 微积分基本定理与定积分计算 一、目标预览 1.理解并能熟练运用微积分基本定理. 2.掌握定积分的常用计算方法. 3.了解定积分与不等式的常用证明方法. 4.了解定积分相关知识的综合应用. 二、概念入门 设，称函数为函数在上的变上限定积分；类似地可定义变下限定积分：. 注（i）由积分的性质，的定义有意义. （ii）由积分的性质易证. 三、主要事实 1.微积分基本定理 若，则，即 ，. 注（i）证明由导数的定义及第一积分中值定理即得. （ii）通过微分中值定理（推论），可获得微积分基本定理如下的等价表述： 若，而且，则 . (iii)微积分基本定理及其等价表述沟通了不定积分与定积 分、微分与积分的内在联系. （iv）利用微积分基本定理及复合函数微分法可得下述的变限积分求导公式： 若，、在上可微而且、，则 2.第二积分中值定理 （1）（旁内（Bonnet，1819-1892[法]）型第二积分中值定理）若，而且是上非负递减（相应地递增）函数，则存在使得 （相应地） （2）（Werierstrass型第二积分中值定理）若， 是上的单调函数，则存在使得 . 证（1）令，利用的可积性得 再由 及的单调减小性，可得 再由连续函数的介值性即得. （2）当为单调递减（增）时，对 应用（1）即得. 3.定积分的计算 （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若，而且除有限个点外有，那么有 . 注（i）牛顿——莱布屁兹公式简称—公式，它是微积 分的核心定理，最初分别由牛顿与莱布尼兹在17世纪下半叶独立得到，柯西在19世纪初给出精确叙述与证明，黎曼在19世纪中叶给予完善，达布在1875年给出现在这种形式. （ii）证明可由积分的定义（分点包括例外点）及微分中值定理（作用在上）可推得. （2）（定积分换元积分法）如果在上有连续导数，，，，，那么 有 注（i）定积分换元积分公式由复合函数微分法及公式 可得，而且可减弱为.进一步，定积分换元积分公式中的可减弱为，但的条件稍许加强（证明较为复杂），即有以下的命题成立： 若，是一一映射而且还满足，，，那么有 . （ii）定积分换元积分法实际上是不定积分第二换元积分法的 直接应用.但使用时有较大差别，在这里换元之后变量不需回代，但积分限要跟着更换（在去掉根号的情形下须注意函数的符号）. （iii）对应于不定积分中的第一换元法（即凑微分法），在这里可以不加变动地直接应用，而且积分限也不须作更改（即仍然采用原来的积分变量）. （3）（分部积分法）如果、具有连续的导数，那么有 . 注（i）分部积分可由乘积微分法则及公式直接证之. （ii）分部积分公式可连续使用次，即利用数学归纳法及分部积分公式可得下面的命题： 若、具有阶连续导数，那么有 . 4.定积分计算中常用的几个公式 （1）若，则 . （2）若，则 （3）若是以为周期的周期函数，则有 （4）若，则 . （5）若，则 . 证（1）令可得. （2）令得. （3）令得， 于是有 ， 再令得. （4）令可得. （5）令可得 及 . 5.带积分余项的泰勒公式 若在上具有阶连续导数，那么有 ， 即，称此为泰勒公式的积分余 项. 注（i）令（常数变易法）， 对分别应用公式及分部积分公式即获得积分余项公式 的证明. （ii）对积分余项应用第一积分中值定理（在积分区间（或上不变号）可得泰勒公式的拉格朗日余项： （其中）. （iii）对积分余项应用积分平均值定理泰勒公式的柯西余项： 四、例题选讲 1.定积分计算例题选. 例1 求下列定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 解（1）. （2）. （3）令，（3） （4）令，（4） . 令得，于是有 （4）. （5） （6） （7）利用得 （7） （8）利用得 （8） （9）. 例2 （1）求 （2）证明Wallis公式：. 解（1） ， 证（2）由得 ， 由此可得 ，， 因此. 例3 利用定积分求下列极限 （1） （2） （3） （4） （5） 解（1） （2）. （3）由可得 （3） （4）由可得 . 因此. （5）令 . 因此. 2.微积分基本定理应用例题选 例4 设，试求. 解 应用微积分基本定理两次可得. 例5 确定常数、、使得 . 解 由可推得，由罗比塔法则及可推得，接着易求得. 例6 若存在，， ， 试求. 解 令，则， . 例7 设连续，，. 试求：. 解 令，则 于是有 . 两边关于求导得 再令可得. 例8 试求可微函数使得 . 解 先关于求导得令得 再关于求导得 . 因而，因而. 3.积分中值定理应用例题选 例9 设在上可微，而且，（）.证明： . 证 令，则由条件可得 ，由得