于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域第I区,第II区,第III区.由于I区和III区中(无穷位势问题见讨论i,),为使方程成立,这两个区域中的波函数必须为零——….docVIP

§第三章 一维问题 §3.1 一维定，Landau Pauli的矛盾 《无限深方势阱》 这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。 研究一维方程，其中位势为 (3.1a) 于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域：第I区，第II区，第III区。由于I区和III区中（无穷位势问题见讨论i,），为使方程成立，这两个区域中的波函数必须为零 —— 即有边界条件。说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行， (3.1b) 有时，这里的边界条件被简单地写作。但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。 显然，在第II区内方程通解为 这里出现两个待定系数、和一个待定参数（它的数值将决定阱中粒子的能量）。为了确定它们，利用两个边界条件（加上总几率归一条件，一共也是三个），即 由此得，。最后，阱中粒子的能级和波函数分别为 (3.2a) (3.2b) 这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明： i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为 第一，介质中势能不可能真是无限大； 第二，势函数也不可能是严格的阶跃。 容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为，可将近似认作无限高的条件是：，是问题中涉及的最大能量。同时，设势函数两端显著上升的尺度为，波函数有显著变化的尺度为，可认作阶跃变化的条件为。因此，对很大的高激发态情况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。此外，更不应当由这种人为的近似模型导出Hamilton量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。 ii, 当为奇数时，波函数是对称的 当为偶数时，波函数是反对称的 （这里已略去无关紧要的波函数整体相因子）。各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点）个数为：基态（）无节点，第一激发态（）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的波函数按的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有 (3.3) iii, 求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即，将它们内禀波动性——de Broglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由de Broglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。这里，故，，代入不确定性关系，给出。由此可知，若将一个粒子禁闭在宽度的局部区域中，相应的动能便有 参考基态能级表达式，再次可知§1.3的排除粒子静止概念是正确的。另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3.2b)式也不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v, ），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见§3.3）。 iv, 将波函数用复指数来表示，并近似地配上因子，可得 因此若仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行波叠加而成的驻波，是阱中de Broglie波在边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间内。如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样，也见下。 v, 基态动量波函数问题。上面说过，此问题边界条件有两种不同提法。它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，由此分歧，Landau 和Pauli给出了不同结果，引发了一些混乱，甚至导致有人对量子力学的严重否定。 一方面，Landau 等人做法是[3]，将上面定义在全实轴上的基态波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数： 代入表达式，注意阱外为零，即得阱中粒子动量几率分布 (3.4a) 注意，（3.4a）式为连续分布。 另一方面，Pauli求解时，直接采用第iii条两个“单色波”中所含的基态的两个“动量”。由此，Pauli认为[1、2]， （3.4b） （3.4b）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波叠加而成的驻波。 显然，两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。事实上，波