关于幂指函数的极限与导数的求法.doc

目 录 目 录 0 摘 要 1 Abstract 2 1.幂指函数的概念 3 2.幂指函数的求极限 3 2.1 ，的极限均为有限常数，即型的极限求法 3 2.2 利用重要极限 4 2.3 应用洛必达法则求极限 6 2.4 用等价无穷小 7 2.4.1 中的等价无穷小代换 7 2.4.2 中的等价无穷小代换 8 2.4.3 中的等价无穷小代换. 9 2.5 利用微分中值定理 10 3.幂指函数的求导 11 3.1 复合函数求导法 11 3.2 对数求导法 12 3.3 多元函数求导法 13 总 结 16 参考文献 17 摘 要 本文主要讨论了幂指函数，，型极限的求法，同时对幂指函数求导法作了探索，总结出复合函数求导法，对数求导法，多元函数求导法，并给出相应的例子。 关键词：幂指函数；导数；极限 Abstract This paper mainly discussed the exponential function, and the method to limit type, and the exponential function derivation method of method, sums up the composite function derivation method, logarithmic derivation method, multivariate function derivation method, and give some examples. Keywords: exponential function; limit; derivation 1.幂指函数的概念 将形如的函数称为幂指函数。也就是说，它既像，又像，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。这种函数的推广，就是。型，型，型这三种类型不定式的求极限问题。对这三种类型不定式进行全面探讨，将局限于分式型不定式的等价无穷小代换定理，无穷小比较定理和洛必达法则，微分中值定理,重要极限推广到幂指型不定式的所有类型中，从而在理论上较系统的解决了幂指型不定式极限求解问题。 2.1 ，的极限均为有限常数，即型的极限求法 定理1 存在有限的极限，，且A0,则有 证明： 令，由A0，两边取对数得： 从而 由复合函数求极限法则知： 上述命题对，， 的情况同样成立，且证明类似。但是，当A或（和）B不是有限常数，或A不大于0时，上述命题不成立。 例1 求极限. 解： 因为 ， 由上述定理1，得： 例2 求极限. 解： 因为 ， 由上述定理1，得： 2.2 利用重要极限 对型未定式极限问题，考虑利用重要极限及其变形公式求极限。 例3 求极限. 解: 例4 求极限. 解： 对于一般具有较复杂形式的型未定式极限问题，可以考虑用如下的定理简化计算过程。 定理2 设有连续函数和，在自变量的某个变化过程中，，，则 证明： 应用定理2解例（2）的解法如下： 因此，应用定理2可以简化型未定式极限的计算。 2.3 应用洛必达法则求极限 定理3[1] 设（1）当时，函数及都趋于0或； （2）在点的某去心领域内，及都存在且； （3）存在（或为无穷大），那么 对幂指函数的极限，可以通过将幂指函数化为对数恒等式的形式，转换为型或型不定式，然后再利用洛必达法则进行求解。 例5 求极限. 解: 因为 ， 由定理3，得： 例6 求极限. 解： 令，则当时，，那么 2.4 用等价无穷小 2.4.1 中的等价无穷小代换 引理1[4] 设 0， 0为某变化过程中的无穷小。若～