08 材料非线性问题.docVIP

第八章 材料非线性问题 前章讨论的是几何非线性问题，它是由结构变形的大位移引起的。本章将讨论材料非线性问题。所谓材料非线性问题，指的是由于材料的本构关系是非线性的，从而使得用位移表达的平衡方程式(组)呈非线性形式。这种问题主要可分成二类，第一类是非线性弹性问题，此类问题中的材料从一开始应力－应变关系就呈非线性关系，如橡皮、塑料、岩石等等。但非线性弹性问题中的变形过程是可逆的，即卸载后结构会恢复到加载前的位置。第二类是非线性弹塑性问题，当结构材料中的应力水平超过屈服极限以后，就会出现非线性性质，各种结构的弹塑性分析就是这类问题。在加载过程中，弹塑性问题和非线性弹性 问题在本质上是相同的，但其卸载过程和前者是不同的，当外载去除后结构不能够回复到加载前的位置，而存有残余变形，即非线性的弹塑性问题是不可逆的。 更进一步的研究，材料非线性问题还有粘弹性问题，粘塑性问题及非线性脆性材料问题等，本书将不予讨论。 随着新型材料的发展应用，材料承载能力的进一步挖潜等，使的材料非线性问题的应力、变形分析，在工程上有着愈来愈重要的意义。例如塑料部件的应用、金属的压力加工、金属部件的预应力处理等等，都必须进行准确的非线性弹性或弹塑性分析。 由于材料非线性问题最后亦是归结为求解一组非线性方程组的问题，因此上章所介绍的求解非线性问题的一般方法都完全适用于材料非线性问题。当然，根据具体问题的性质，存有选择哪一种方法更方便，有效的问题。本章将分别介绍非线性弹性问题及弹塑性问题基本理论及具体求解方法，最后对双重非线性问题(即材料非线性和几何非线性的复合问题)作一般性的讨论。 §8-1 非线性弹性问题的求解方法 纯粹的材料非线性问题属于小变形问题。前面章节所到的几何关系式及单元的平衡条件仍然成立。即有 (8-1) (8-2) 其中几何关系式(8-1)是线性的，和位移无关。所以以应力形式表示的平衡条件式也是线性的。 现引入物理方程，其一般形式为 (a) 在材料非线性问题中，应力和应变的关系是非线性的，从而应力和位移的关系亦是非线性的，所以，以节点位移列陈表示的平衡方程已不再是线性的，其可写成 (8-3) 上式和式(7-2)具有完全相同的形式，因此可用上章介绍的各种迭代方法来求解。现分别予以介绍。 一、直接迭代法(割线刚度法) 如果材料的应力－应变关系能够表示成如下形式 (8-4) 于是，由(8-1)式，上式可以写成 (b) 将(b)式代入(8-2)式可很容易地得到(8-3)式，其中 (8-5) 即为有限元系统的割线刚度矩阵，它是位移列阵的函数。 直接利用直接迭代法求解(8-3)式，有 (8-6) 从起多次利用上式迭代，直到满足精度要求止，即得该非线性系统的解。 采用直接迭代法的关键是获得割线弹性矩阵及割线刚度矩阵，除非是少数简单系统，一般情况下，这是很困难的。因此，这种方法实用较少。 二、牛顿－拉斐逊法(切线刚度法) 如果材料的应力－应变关系能够表示为增量形式 (8-7) 就可以利用切线刚度法，式中 是材料的切线弹性矩阵。 将式(8-2)改写成 (8-8) 并对其微分，由于及均为定常量，因此有 (d) 将(8-7)式代入上式，并考虑到(8-1)式，则 (d) 式中 (8-9) 即为系统的切线刚度矩阵。 利用牛顿——拉斐逊方法，则其迭代公式为 (8-10) 式中 (e) 为第n次近似解时，等效节点力和等效节点载荷的差，称为失衡力。当失衡力在精度范围内时，则认为迭代收敛，获得了方程式(8-8)的解。 三、初应力法及初应变法 对于一般非线性材料，其物理方程可以表示为 (8-11) 上式可由具有初应力的线弹性物理方程代替，即 (8-12) 式中，是线性弹性矩阵，它是非线性材料在时的切线弹性矩阵。 为使(8-11)式及(8-12)式所表示的应力相同，应随的变化，随时调整。比较上述二式，于是有 (f) 引