2007 2010全国高中数学联赛试题及答案.docVIP

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1．函数的值域是 ． 2．已知函数的最小值为，则实数的取值范围是 ． 3．双曲线的右半支与直线围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 ． 4．已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，，，且存在常数，使得对每一个正整数都有，则 ． 5．函数（，）在区间上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 ． 6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是 ． 7．正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角，则 ． 8．方程满足的正整数解（，，）的个数是 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数（），当时，，试求的最大值． 10．（本小题满分20分）已知抛物线上的两个动点（，）和（，），其中且．线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值． 11．（本小题满分20分）证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得． 2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷） （考试时间：10月17日上午9∶40—12∶10） 一、（本题满分40分）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于点，直线与交于点．求证：若，则，，，四点共圆． 二、（本题满分40分）设是给定的正整数，．记， ，．证明：存在正整数，使得为一个整数．这里表示不小于实数的最小整数，例如：，． 三、（本题满分50分）给定整数，设正实数，，…，满足，，，…，，记，，，…，．求证：． 四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？ 2009年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、填空（共8小题，每小题7分，共56分） 若函数且，则 ． ， ……，．故． 已知直线和圆，点在直线上，，为圆上两点，在中，，过圆心，则点横坐标范围为 ． 设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得． 在坐标平面上有两个区域和，为，是随变化的区域，它由不等式所确定，的取值范围是，则和的公共面积是函数 ． 由题意知 使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为 ． 设．显然单调递减，则由的最大值，可得． 椭圆上任意两点，，若，则乘积的最小值为 ． 设，． 由，在椭圆上，有 ① ② 得．于是当时，达到最小值． 若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ． 或 当且仅当 ① ② ③ 对③由求根公式得， ④ 或． (ⅰ)当时，由③得所以，同为负根． 又由④知所以原方程有一个解． (ⅱ)当时，原方程有一个解． (ⅲ)当时，由③得所以，同为正根，且，不合题意，舍去． 综上可得或为所求． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是 （可以用指数表示） 易知： (ⅰ)该数表共有100行； (ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为，，，…， (ⅲ)为所求． 设第行的第一个数为，则 =…… 故． 某车站每天，都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 概率 一旅客到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）． 27 旅客候车的分布列为 候车时间（分） 10 30 50 70 90 概率 候车时间的数学期望为 二、解答题 （本小题满分14分）设直线（其中，为整数）与椭圆交于不同两点，，与双曲线交于不同两点，，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若