2011年全国高中数学联赛模拟题1必威体育精装版.docVIP

全国高中数学联赛模拟题 一 试 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1．在数列中，，，，．＝ ． 2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，是一个完全平方数，，则 ． 3．一列数满足对于任意正整数n，都有，则 ． 4．设，变量满足，且的最小值为，则_______． 5．正整数，具有如下性质：从集合中任取一个元素m，则m整除n的概率是，则n的最大值是 . 6．集合{1,2,…,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径的半圆，过作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点，使，为半圆上一个动点，分别为在上的射影．当三棱锥的体积最大时，_________． 8．直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为，则 . 二、解答题（第9题16分，第10、11题各20分，共56分） 9.（本小题满分16分）设，证明不等式 ． 10.（本小题满分20分）已知双曲线：（，）的离心率为2，过点（）斜率为1的直线交双曲线于、两点，且，． （1）求双曲线方程； （2）设为双曲线右支上动点，为双曲线的右焦点，在轴负半轴上是否存在定点使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11.（本小题满分20分） 设是不同的正实数.证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有 . 加 试 1. （本题满分40分）实数a使得对于任意实数，不等式 都成立，求a的最大值． 2. （本题满分40分）在直角三角形ABC中，，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切与点D，E，F，连接AD，与内切圆相交于另一点P，连接PC，PE，PF．已知，求证：∥． 3．（本题满分50分）对正整数n，记为数的十进制表示的数码和． (1) 求的最小值； (2) 是否存在一个正整数n，使得=100？ 4．（本题满分50分）求满足如下条件的最小正整数n，在圆O的圆周上任取n个点，则在个角中，至少有2011个不超过． 参考答案 一 试 1. 0． 因为，，，，，，，，，，，，，自第项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=．，，所以，，故，． 于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是的约数，故．进而，．所以，． 3．． 当时，有 ， ， 两式相减，得 ， 所以 故 ． 4． ． 由及得：，设． 若，即，则在处取最小值，因此，． 若，即，则在处取最小值，因此，（舍去）． 5． 81. 由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是，则n的约数个数为，所以＝5，故n具有的形式，而，故n的最大值为81. 6． 22010．…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为(f(1)－f(－1))=22010. 7．． 易知，所以，从而，所以，因此．，由得：，而，为斜边长为的直角三角形，面积最大在时取到，此时，． 8． ．，由，即，所以，，因此，即，因直线过和，则，于是，再由，，解得，所以． 9.注意到，所以 ， 所以 ． 同理，因为，所以 ． 10.（1）由双曲线离心率为2知，，，双曲线方程化为． 又直线方程为．由，得 ． ① 设，，则，． 因为 ，所以 ，． 结合，解得，．代入，得，化简得．又 且． 所以．此时，，代入①，整理得，显然该方程有两个不同的实根．符合要求． 故双曲线的方程为． （2）假设点存在，设．由（1）知，双曲线右焦点为．设（）为双曲线右支上一点． 当时，，，因为，所以 ． 将代入，并整理得，． 于是 ，解得． 当时，，而时，，符合． 所以符合要求．满足条件的点存在，其坐标为． 11.必要性：若是一个等比数列，设，则 ＝. 充分性：当n＝2时，两边都等于1.当n＝3时，有 ， 化简得，所以，成等比数列. 假设成等比数列（），记，，，则 ， ， ， ， 因为，所以，即，从而成等比数列.由数学归纳法知，是一个等比数列. 加 试 1． a的最大值为． 因为当时，得． 又当时，不等式恒成立．事实上 ， 所以，a的最大值为． 2．连接DE，DF，则△BDF是等腰直角三角形．于是，故．又，所以△PFD ∽ △PDC，所以