2011年全国高中数学联赛模拟题2必威体育精装版.docVIP

全国高中数学联赛模拟题 一 试 一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 已知，且，，，若，则a的取值范围是 。 2. 在中，若，，，为的内心，且，则 . 3. 已知函数若关于x的方程有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 。 4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数n时按下这个按键，会等可能的将其替换为0~n(1中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示0，那么这个过程中，9、99、999都出现的概率是 。 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F1PQ内切圆面积的最大值是 ． . 设为一个整数数列，并且满足：，．若，满足且的最小正整数n． 且使关于t的方程没有实数根的点所成的集合记为N，则由点集N所成区域的面积为 。 二、解答题（本题满分56分） 9. （本小题满分16分）对正整数，记，求数列中的最大值． 10.（本小题满分20分）已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线的交点为B、C。现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围。 11.（本小题满分20分）映射f的定义域是的全体真子集，值域包含于，满足条件：对任意，都有，求这种映射的个数． 加 试 一、（本题满分40分） 设为直线上顺次排列的五点，，在直线外的一点，连结并延长至点，恰使，同时成立. 求证：。 二、（本题满分40分） 已知：，， 求证：。 三、（本题满分50分） 设正整数n大于1，它的全部正因数为d1，d2，…，dk，满足1=d1d2…dk = n。再设D = d1d2＋d2d3＋…＋dk－1dk。 (i) 证明：Dn2； (ii) 确定所有的n，使得D整除n2。 四、（本题满分50分） 设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点． 参考答案 一试 1. 答： ，要使，只需C中的最大元素在B当中，所以，得。 2. 答： 设AO交BC于点D，由角平分线定理知，于是，又，所以 ，因此。 3. 答： 利用函数图象进行分析易得结果。 4. 答： 若计算器上显示n的时候按下按键，因此时共有1~n(1共n种选择，所以产生给定的数m的概率是。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9和0以外，还产生了，则概率为，所以所求概率为 注意到 两式相除即得。 5. 答： 因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1PQ的周长是定值8，所以只需求出△F1PQ面积的最大值。设直线l方程为，与椭圆方程联立得，设，，则，，于是。 因为，所以内切圆半径，因此其面积最大值是。 6. 答：501 当时，将原式变形为，令，则有，叠加可得，于是。 由，得，化简得。 由，得，将上述关于的结果代入得，于是质数且n是奇数，所以满足条件的最小的n是501。 7. 答：16 将题目所得几何体的上半部分与半径为16的半球作比较，将它们的底面置于同一水平面，并考察高度为h的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是圆环，外径是，内径是12，所以面积是，这正是与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。 8. 答： 令，原方程化为 ① 所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以， 或 点集N所成区域为图中阴影部分，其面积为 9. （本小题满分16分） 解：经计算知，，，下面用数学归纳法证明：当时，有。 假设，则 。 所以数列中的最大值是。 10.（本小题满分20分） 解：椭圆过定点A（1，0），则 ∵，∴。 由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线的交点，就必过椭圆与射线的交点。 联立方程 ，解得 。 ∵，∴。 设抛物线方程为：，。 又 ∵ ， ∴ ① 把 ， 代入①得，，。 令，，， ∵ 在内有根且单调递增， ∴ 综上得：。 11.（本小题满分20分） 解：记，其中。 首先任意设定的值，则对于A的任意真子集B，记，则 ， 因此，映射f可由的值完全确定。 下面证明这样的映射满足条件。 对任意，有， ，