2013年中考攻略专题20 动态几何之存在性问题探讨含答案.docVIP

【2013年中考攻略】专题20：动态几何之存在性问题探讨 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题进行了探讨，本专题对存在性问题进行探讨。 结合2012年全国各地中考的实例，我们从七方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（6）全等、相似三角形存在问题；（7）其它存在问题。 一、等腰（边）三角形存在问题： 典型例题：例1：（2012广西崇左10分）如图所示，抛物线（a≠0）的顶点坐标为点A（－2，3），且抛物线与y轴交于点B（0，2）. （1）求该抛物线的解析式； （2）是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是x轴上任意一点，则当PA－PB最大时，求点P的坐标. 【答案】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为A(－2，3)，∴可设抛物线的解析式为。 由题意得 ，解得。 ∴物线的解析式为，即。 （2）设存在符合条件的点P，其坐标为（p，0），则 PA=，PB=，AB= 当PA=PB时，=，解得； 当PA=PB时，=5，方程无实数解； 当PB=AB时，=5，解得。 ∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为（，0）或（－1,0）或（1,0）。 （3）∵PA－PB≤AB，∴当A、B、P三点共线时，可得PA－PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点。 设直线AB的解析式为，则 ，解得。∴直线AB的解析式为， 当=0时，解得。 ∴当PA－PB最大时，点P的坐标是（4，0）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由已知用待定系数法，设顶点式求解。 　　　　（2）分PA=PB、PA=PB、PB=A三种情况讨论即可。 　　　　（3）求得PA－PB最大时的位置，即可求解。 例2：（2012辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。 （1）求点C的坐标； （2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴； （3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标； （4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。 ∴点C的坐标为（4，0）。 （2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为， 将A（0，2）代入，得，解得。 ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。 ∵，∴抛物线的对称轴为。 （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。 ∵点P（m，n）在上， ∴P。 ∴， ，。 ∴ 。 ∵，∴当时，S最大。 当时，。∴点P的坐标为（2，3）。 （4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。 【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。 （2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。 （3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。 　　另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。 　　由点P在和可得。 　　∴，整理，得。 　　要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。 　　将代入得，将代入得。 　　∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。 （4）设点M（）， ∵C（4，0）, P（2，3）, ∴PC=, PM=,