2013年数学高考备考二轮复习 核心考点六 第19课时 空间向量.ppt

图14 第 19 课时 空间向量 1．(2012 年陕西)如图 1，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的 余弦值为( ) 图 1 答案：A 2．(2010 年广东)若向量 a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)， 满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x＝________. 2 解析：c－a＝(0,0,1－x)，(c－a)·(2b)＝2(0,0，1－x)·(1,2,1) ＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2. 3．(2011 年北京)已知向量 a＝( ，1)，b＝(0，－1)，c＝(k， )．若 a－2b 与 c 共线，则 k＝_________. 1 解析：a－2b＝( ，3)，由 a－2b 与 c 共线，得 · ＝3k ?k＝1. 在近几年的高考试卷中，立体几何常常以锥体或柱体为载 体，命题呈现一题两法的新格局．一直以来立体几何解答题都 是让广大考生又喜又忧．为之而喜是因为只要能建立空间直角 坐标系，基本上可以处理立体几何的绝大多数问题；为之而忧 是因为对于不规则的图形来讲，建立直角坐标系的难度较大， 问题不能得到很好的解决.2011 年广东的立体几何问题的建系 就存在着这样的问题，很多考生由于建系问题导致立体几何的 完成情况不是很好，而利用传统的方法来解题却相当容易． 特别提醒：对理科考生而言，选择利用传统方法，还是利 用空间向量解题都是可以的，若比较容易建系的就用空间向量 (有三线两两垂直或面面垂直的)，否则还是利用传统的推理与 证明的方法． 利用空间向量求空间角 例1：如图2，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A′B′C′D′ 中，E，F 分别是 BC，A′D′的中点． (1)求证：四边形 B′EDF 是菱形； (2)求直线 A′C 与 DE 所成角的余弦值； (3)求直线 AD 与平面 B′EDF 所成角的余弦值； (4)求平面 B′EDF 与平面 ABCD 所成角的余弦值． 四边形． ∴A′G∥FD.∴B′E∥FD. ∴B′，E，D，F 四点共面． 故四边形 B′EDF 是菱形． 图2 (2)解法一：如图3，在平面ABCD 内，过点C 作CP∥DE， 交直线AD 于点P，则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C 与DE 所成的角． 图3 解法二：建立如图4 的空间直角坐标系，则 图 4 (3)解法一：∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又∵四边形 B′EDF 为菱形， ∴DB′为∠EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′. 在Rt△B ′AD 中，AD＝a，B′D＝ a， 则 cos∠ADB′＝ . 解法二：∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD 在平面 B′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上． 又∵四边形 B′EDF 为菱形，∴DB′为∠EDF 的平分线， 故直线 AD 与平面 B′EDF 所成的角为∠ADB′. 在图 5 中建立空间直角坐标系，则 图5 (4)解法一：如图6，连接EF，B′D 相交于点 O，显然O 为 B′D 的中点，从而O 为正方体ABCD—A′B′C′D 的中心． 图 6 作OH⊥平面 ABCD，则 H 为正方形 ABCD 的中心． 再作HM⊥DE，垂足为 M，连接 OM，则 OM⊥DE， 故∠OMH 为二面角 B′—DE—A 的平面角． 解法二：如图7，建立空间直角坐标系，则 图7 【思维点拨】本题主要考查异面直线所成的角、线面角及 二面角的一般求法，综合性较强．求线面角，关键是作垂线， 找射影；求异面直线所成的角则采用平移法；求二面角的大小 也可应用面积射影法．特别注意：对于第(1)问，若仅由 B′E ＝ED＝DF＝FB′就断定四边形 B′EDF 是菱形是错误的，因 为存在着四边相等的空间四边形，所以必须证明 B′，E，D， F 四点共面． 【配对练习】 1．(2012 年江西)如图 8，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，已知 AB＝AC＝AA1＝ ，BC＝4，点 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O. (1)证明：在侧棱 AA1 上存在一点 E，使得 OE⊥平面 BB1C1C，并求出 AE 的长； (2)求平面 A1B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值． 图 8 (1)证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E. ∵AA1∥B