2015第一轮复习高考数学直线与圆锥曲线的位置关系.ppt

（2）过双曲线 =1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点， 若|AB|=4，则这样的直线l有( ) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【解析】选C.由于a=1，所以2a=24，数形结合知，当A，B在 左右两支上时有2条，又过右焦点垂直于x轴的弦长恰好为4， 故A，B同在右支上时，有1条.所以共3条. 考向 2 与弦长、弦中点及弦端点相关的问题 【典例2】(1)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0， -1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点.若线段AB的中点为(2， -2)，则直线l的方程为_____________. (2)过抛物线y2=4x焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，如果 ，则直线AB的方程是__________. (3)(2013·新课标全国卷Ⅱ)平面直角坐标系xOy中，过椭 圆M： =1(ab0)右焦点的直线x+y- =0交M于A，B 两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 ①求M的方程. ②C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值. 【思路点拨】(1)涉及弦的中点、斜率问题可利用点差法求解. (2)关键将弦的端点满足的向量关系转化为其横坐标大小关 系，从而构建方程求解. (3)①涉及弦AB的中点问题，考虑点差法，建立关于a,b的方程组，解得a,b的值，确定M的方程. ②将四边形ACBD的面积表示出来，可转化为S＝|AB|·h，然后利用函数的知识求最值. 【规范解答】(1)由题意知，抛物线的方程为x2=-4y，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，且x1≠x2,联立方程得 两式相减 得 , ∴ =-1, ∴直线l的方程为y+2=-(x-2),即y=-x. 答案：x+y=0 (2)由已知抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，显然满足题意的直线 斜率存在，设为k,则直线的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x, 整理得k2x2-2(k2+2)x+k2=0(k2≠0) ① 其判别式Δ=16(k2+1)0, 设A(x1,y1),B(x2,y2)且由 , 不妨设x1x2. 由①解得x1= , x2= , 又 得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2), 得1-x1=2(x2-1),即x1+2x2=3, 亦即： +2· =3， 解得k= ,∴所求直线方程为y= (x-1), 即4x- y-4=0或4x+ y-4=0. 答案：4x- y-4=0或4x+ y-4=0 (3)①设A(x1,y1),B(x2,y2)，则 =1(ⅰ)， =1(ⅱ)，(ⅰ)-(ⅱ)得 设P(x0,y0)，因为P为AB的中点，且OP的斜率为 所以 y0= 即y1+y2= (x1+x2)，又因为 =-1，所以可以解 得a2=2b2， 即a2=2(a2-c2)，即a2=2c2，又因为c= 所以a2=6，所以M的方程为 ②因为CD⊥AB,直线AB的方程为x+y- =0，所以设直线CD方 程为y=x+m，将x+y- =0代入 =1得：3x2-4 x=0， 解得x=0或x= 不妨令A(0, ),B( )，所以可得|AB|= 将y=x+m 代入 =1得：3x2+4mx+2m2-6=0， 设C(x3,y3)，D(x4,y4)，则|CD|= 又因为Δ=16m2-12(2m2-6)＞0，即-3＜m＜3，所以当m=0时， CD取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为 |AB|·|CD|= 【规律方法】 1.弦长的计算方法与技巧 求弦长时可利用弦长公式，根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后进行整体代入弦长公式求解. 【提醒】注意两种特殊情况：(1)直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直.(2)直线过圆锥曲线的焦点. 2.弦中点问题的解法 点差法在解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜率是否存在. 3.与弦端点相关问题的解法 解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法，就是将其转化为端点的坐标关系，再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系，构建方程(组)求解. 【变式训练】设椭圆C： =1(ab0)过点(0，4)，离心率 为 . (1)求椭圆C的方程. (2)求过点(3，0)且