一道数学课本习题再思索教学价值.doc

一道数学课本习题再思索教学价值课本的例习题是所有教学材料中的精品，有丰富的内涵和广阔的外延，对学生理解巩固知识和形成解题策略具有一定典型作用和潜在的价值. 新课程主张要改变学生的学习方式和教师的教学方式，要求把学习的时间还给学生，提倡探究式学习，那么教师如何挖掘习题的价值就显得尤为关键. 有些教师仍习惯题海战术，可学生却是异常排斥. 正确的做法是将“训练”和 “反思”相结合，在训练的基础上多做总结性的反思. 这就要求教师要用“活”例习题，教会学生自主去探究，真正实现探究过程中随时留下来“知识的烙印”. 本文以人教版必修4第113页B组第3题为例，探讨问题的再思考所产生的学习价值. 题目：已知对任意平面向量=（x，y），把绕着点A逆时针方向旋转θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B点绕点A逆时针旋转θ角得到点P. （1）已知平面内一点A（1，2），点B（1+，2-），把点B绕点A顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标； （2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=1，求曲线C的方程. 一、 课本习题最基本的教学价值是以所学知识为基础的知识巩固 本例所给出的背景是解析几何中的坐标旋转公式. 新课标要求给学生“坐标旋转公式”以初步印象，了解其含义，并能利用已给的公式进行运算，为学生进行“旋转变换”提供了可能. 要实现上述教学价值，必须建立合理的认知结构，由于学生在此时还没有学习两角和差的正余弦公式，就不会理解该公式为研究图形的旋转变换提供了最方便的方法. 在实际的教学中，我将此题的教学延后到“两角和与差的正弦、余弦公式”之后来进行，这样就可以有效地利用所学知识来证明该公式，降低了知识的难度，使学生便于接受，处理得应该是比较合理的. 在学习完三角函数的相关知识后不禁要问：三角函数的定义应用十分广泛，除了推导出诱导公式、三角恒等式、正余弦定理外，还有许多应用，你能利用三角函数的定义来表示点的坐标吗？ 如图1，设点P的坐标为（x，y），以射线Ox为始边，射线OP为终边的角α，有三角函数的定义可知：P（rcosα，rsinα），起到利于温故知新之效. 平面内一点P（x，y）绕原点O逆时针方向旋转θ角后，得到点P′（x′，y′），则这两点坐标之间的关系是什么？ 自然联想：设OP=OP′=r，以Ox为始边，OP′为终边的角α+θ， 由上述结论可知x=rcosα，y=rsinα，x′=rcos（θ+α），y′=rsin（θ+α）. 由两角和的余弦公式可得x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ. 该公式就是点P旋转前后坐标之间的关系，也就是坐标旋转公式. 二、 课本习题的教学应补充思维过程，拓展学生思维空间 课堂上我们要留给学生的不仅是完整的解题过程，更重要的是分析解决问题的思维过程，否则学生只会知其然而不知其所以然. 所以我们要引导学生真正搞懂解题的依据是什么，发现规律，探究方法. 在解决完本题后，我又引导学生做了如下探讨： （1）初中学习的反比例函数y=（k≠0），其图象是双曲线，在高中我们又学习过双曲线，方程为-=1（a0，b0），那么，这两种曲线是一致的吗？如何证明你的判断呢？ （2）设反比例函数y=（k≠0）图象绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到曲线C，又设曲线上任意一点的坐标为P（x，y），那么将点P绕坐标原点沿逆时针方向旋转后得到的点P′（x′，y′），在反比例函数的图象上，即x′y′=k. 由旋转公式可得x′=xcos-ysin=（x-y）y′=xsin+ycos=（x+y） 所以x2-y2=2k显然表示高中的双曲线. 由此我们完全明白为什么初中把反比例函数的图象叫做双曲线了！因为它的本质就是将双曲线x2-y2=2k绕原点O逆时针旋转得到的. （3）既然反比例函数的图象是双曲线，那么你能求出其顶点、焦点、对称轴、渐进线等等吗？ 学生很快发现，只要将双曲线x2-y2=2k（k0）的顶点、焦点、对称轴、渐进线等绕原点O逆时针旋转即可. （4）双曲线的许多性质应该也一样适用反比例函数，你能说出几条吗？ 这是一个开放性的问题，我的学生给出了许多答案，其中有一条让我感觉学生的能力有了大幅度的提高：学生给出了这样的一个结论若一条直线与反比例函数的图象、坐标轴相交的四个点依次为A，B，C，D，那么|AB|=|CD|. 三、 用“活”课本习题，实现学生能力与品格的双赢 思维不应就此停止，我们要想从浩如烟海的“题海”中解放出来，就必须引导学生向更广的范围，更深的层次去联想，纵横引申，把所学的知识放到更大的范围去联想、演变，促进知识的融会贯通，使解题能力