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一道高三调研题寻根及探究1. 问题 江苏省2012届苏北四市3月高三调研卷第18题： 如图,已知椭圆C的方程为x?24+y?2=1,A,B是四条直线x=±2，y=±1所围成的矩形的两个顶点. （1） 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q（m，n）在定圆上运动,并求出定圆的方程; （2） 若M,N是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由. 解： （1） 易求A（2，1）,B（-2，1）. 设P（x?0，y?0）,则x??2??04+y??2??0=1.由OP=mOA+nOB,得x?0=2(m-n) y?0=m+n, 所以4（m-n）?24+(m+n)?2=1,即m?2+n?2=12. 故点Q(m，n)在定圆x?2+y?2=12上. （2） 设M（x?1，y?1），N（x?2，y?2）,则y?1y?2x?1x?2=-14. 平方得x??2??1x??2??2=16y??2??1y??2??2=（4-x??2??1）（4-x??2??2）,即x??2??1+x??2??2=4. 因为直线MN的方程为,（x?2-x?1）y-(y?2-y?1)x+x?1y?2-x?2y?1=0 所以O到直线MN的距离为 d=|x?1y?2-x?2y?1|(x?2-x?1)?2+(y?2-y?1)?2, 所以△OMN的面积 S=12MNd=12|x?1y?2-x?2y?1|= 12x??2??1y??2??2+x??2??2y??2??1-2x?1x?2y?1y?2= 12x??2??11-x??2??24+x??2??21-x??2??14+12x??2??1x??2??2= 12x??2??1+x??2??2=1. 故△OMN的面积为定值1. 2. 寻根 2011山东高考理科22题：已知动直线l与椭圆C:x?23+y?22=1交于P（x?1，y?1）、Q（x?2，y?2）两不同点，且△OPQ的面积S?△OPQ=62,其中O为坐标原点. （Ⅰ） 证明：x??2??1+x??2??2和y??2??1+y??2??2均为定值; （Ⅱ） 设线段PQ的中点为M，求|OM||PQ|的最大值； （Ⅲ） 椭圆C上是否存在点D,E,G，使得S?△OPQ=S?△ODG=S?△OEG=62？若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由. 2011江苏南通高三第三次调研卷18题： 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x?2a?2+y?2b?2=1(a＞b＞0)的离心率为22，其焦点在圆x?2+y?2=1上． (1) 求椭圆的方程； (2) 设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM=cosθOA+sinθOB． (?) 求证：直线OA与OB的斜率之积为定值； (?) 求OA?2+OB?2． 3. 探究 探究1：如图,已知椭圆C的方程为x?2a?2+y?2b?2=1（a＞b＞0）A,B是四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形的两个顶点. （1） 设P是椭圆C上任意一点,若OP=mOA+nOB,求证:动点Q（m，n）在定圆上运动,并求出定圆的方程; （2） 若M（x?1，y?1）、N（x?2，y?2）是椭圆上两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积, (?) 求证：x??2??1+x??2??2和y??2??1+y??2??2均为定值，并求出定值. (?) 试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由. 解： （1） 易求A（a，b）,B（-a，b）. 设P（x?0，y?0）,则x??2??0a?2+y??2??0b?2=1.由OP=mOA+nOB,得m-n=x?0a? m+n=y?0b，所以(m-n)?2+(m+n)?2=1,即m?2+n?2=12. 故点Q（m，n）在定圆x?2+y?2=12上. （2） 由题意知y?1y?2x?1x?2=-b?2a?2.两边化简得平方得x??2??1x??2??2=a?4y??2??1y??2??2b?4=（a?2-x??2??1）（a?2-x??2??2）, 即x??2??1+x??2??2=a?2，同理可求y??2??1+y??2??2=b?2. 因为直线MN的方程为(x?2-x?1)y-(y?2-y?1)x+x?1y?2-x?2y?1=0, 所以O到直线MN的距离为 d=|x?1y?2-x?2y?1|（x?2-x?1）?