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以基本图形为基础解题教学探析本文针对初中几何问题的教学，尝试模型化方法，即以基本图形为线索，构建习题链接，从而使学生掌握利用基本图形解决一类问题的方法。罗增儒教授指出：如果能够辨别题目属于熟悉的类型，就用该类型相应的方法去解决（模式识别）；如果遇到不熟悉和费解的习题，不能直接转化为熟悉的类型，那我们既可以“分解”，使每一个小问题都是熟悉的，又可以揭示问题的深层结构，使问题的实质是熟悉的，同时还可以不间断地改变习题，最终划归为已经解决的问题。 本文基于上述观点，进行了探索。下面是笔者在几何教学中所作的一点尝试。 一、“建立以基本图形为基础的习题系列”的探索 把一个基本图形放在各种不同的图形背景中，构造出一系列数学问题，然而笔者认为要遵循循序渐进的原则，进行变式练习，先形成主干，再逐步添加枝叶。下面以“线段和最小”问题举例说明。 在初中几何中，解决“线段和最小”问题有两个基本依据，分别是“两点之间线段最短”和“垂线段最短”。 1.以“两点之间线段最短”为依据，有下列基本图形及其系列 原形是八年级上册数学书中的“线段和最小”问题。 对于基本图形的教学，创设适当的问题 情境，学生的印象更加深刻。笔者把教材中 的问题改编成“将军饮马”问题，学生兴趣很 浓，由“营地”“河流”“牧场”三者位置关系的 变化，得到不同的变式。以下是从问题情境 中，抽象出的基本数学问题。 基本图形1：如图1，已知直线a和其同侧两点A、B，在直线a上作点C，使AC+BC最小。 特点：利用轴对称将直线同侧两点转化为直线异侧两点，从而把“求折线段和的最小值”问题转化为“两点之间线段最短”问题。 结合学生在不断解题过程中遇到的问题，归纳出基本图形的应用范围：（1）凡是具有轴对称性的图形都可以直接用此模型。（2）数形结合，把基本图形放到直角坐标系中。（3）对基本图形进行引申、拓展，放到不同图形背景中。 基本图形系列教学中，解决问题的关键是：如何在较复杂的背景中，引导学生揭示问题的本质，从而找到基本图形？下面举例说明。 例1.已知A（2，—3），B（4，—1）是平面直角坐标系xOy中的两点。 （1）若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p= 时，△PAB的周长最短； （2）若C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两个动点，则当a= 时，四边形ABDC的周长最短； 分析：对于问题（1），学生能快速识别基本图形并立刻找到解题方法：如图1—1，作A关于x轴的对称点A′（2，3），连接A′B，直线A′B：y=—2x+7与x轴交点的横坐标即为所求。 对于问题（2），虽有关键词“四边形的周长最短”，但学生无法直接用基本图形。因此解决问题（2）的关键在于：揭示问题的本质，把“四边形的周长最短”转化为基本图形中“两条线段的和最短”。如何转化呢？ 这里介绍一种“图示分析法”：先假设满足条件的点或图形已找到，并画出示意图，借助示意图分析得出需要找的点或图形的准确作法。这种方法在解决某些作图问题中很有效。 引导学生采用图示法进行分析，如图1—2，假设满足“四边形ABDC的周长最短”的点C、D已找出，则AC+BD最短。与基本图形相比，有两个动点C、D，怎样把两个点“合二为一”同时又不改变线段AC、BD的长度和方向？这可以通过平移实现：将BD向左平移3个单位（CD的长）得到B′C，将D与C“粘在一起”，则问题转化为AC+B′C最短。（将AC向右平移3个单位也可以） 实际上，原图中并没有画出C、D，通过上面的图示分析法，可知：“平移BD”相当于“平移点B”。因此，准确的作图方法是：如图1—1，把点B向左平移3个单位得到点B′，然后解决“在x轴上求点C使得AC+B′C最短”的问题，从而转化为第（1）题的类型，问题得到解决。 在解决了不同背景的问题后，教师应引导学生及时反思，回归基本图形，这样就能够不断丰富基本图形系列，对这个系列的问题形成一般方法，并且产生辐射，能够预见新的问题背景。 2.以“垂线段最短”为依据，有下列基本图形及其系列 基本图形2：如图2，已知点A在锐角∠MON 的边OM上，分别在ON、OM上取点P、Q，使得 AP+PQ最小。 由“垂线段最短”可得如下等价形式： 已知点A在锐角∠MON的边OM上，在ON上取点P，作PQ⊥OM于Q，使得AP+PQ最小。 分析：虽然也是“线段和最小”，但不同于基本图形1；那么，能否借鉴其解决方法——利用轴对称将直线同侧两点转化为直线异侧两点呢？由此想到：作点A关于直线ON的对称点A′，原问题转化为“在ON、OM上各取一点P、Q，使A′P+PQ的值最小”，易得解决方案：过A′作A′O⊥OM于Q，交ON于P，点P、Q即为所求，且AP+