傅里叶变换的性质及其揭示的时域和频域间的关系.ppt

* * * * * * * * * * CFT 的尺度比例变换性质表明，除了一个幅度因子 1/|a| 外，时域与频域存在着尺度反比关系。当 a1时，信号在时域上压缩到原来的 1/a，则在频域上其频谱将扩展 a 倍。当 0a1 时，信号在时域上扩展到原来的 1/a，则在频域上其频谱将压缩 a 倍。a0 时也是一样，只不过多了反转。 6. 尺度比例变换性质 Ω Ω Ω 0 0 0 t t t a1 0a1 a=1 所谓“抽样”，就是用离散化的一组样本值表示连续函数的过程或方法。那么，在满足什么样的条件下，一个连续时间信号才能完全的、充分的用其等间隔的样本值来表示呢？抽样定理将会告诉我们这个问题的答案。 抽样定理：设 x(t)是一带限于 ΩM 的连续时间信号，即有 如果抽样间隔 Ts 满足 则 x(t) 就能由其样本值序列{x(nTs), n=0,±1,±2…}唯一地确定。 7. 抽样和抽样定理 从 x(t) 得到其样本值序列 {x(nTs)} 可以通过 x(t) 与周期为 Ts 的冲激串函数相乘来实现，即 其中 xp(t) 也是一个冲激串，每个冲激串的强度等于 x(t) 以 Ts 为间隔的样本值，即有 p(t) 的频谱 P(jΩ) 为 7. 抽样和抽样定理 利用 CFT 的频域卷积性质，有 这表明， XP(jΩ) 是 X(jΩ) 的周期延拓，只要满足条件 ， XP(jΩ) 将是 X(jΩ)/Ts 无重叠的周期复制。此时，只需一个理想低通滤波器HL(jΩ) 即可从 xp(t) 恢复出 x(t)。 7. 抽样和抽样定理 7. 抽样和抽样定理 0 t 0 t 0 t 0 t 0 Ω 0 0 0 Ω Ω Ω x(t) p(t) xp(t) xp(t) X(jΩ) XP(jΩ) P(jΩ) XP(jΩ) 欠抽样 过抽样 HL(jΩ) 上述证明过程表明， 正是 x(t) 的带限条件 和 抽样条件 确保了信号 XP(jΩ) 是 X(jΩ) 的无重叠周期复制，并可以从 XP(jΩ) 中忠实地恢复出原始信号频谱 X(jΩ)。因此，人们把对带限于的连续时间信号抽样所允许的最低抽样频率 2ΩM 称为奈奎斯特（Nyquist）频率，并把以 Ωs=2ΩM 进行的抽样称为临界抽样，而以 Ωs2ΩM 进行的抽样称为过抽样，以 Ωs2ΩM 进行的抽样称为欠抽样。 7. 抽样和抽样定理 7. 抽样和抽样定理 0 Ω XP(jΩ) HL(jΩ) 重建滤波器 hL(t) xp(t) xr(t)=x(t) 信号的重建： 7. 抽样和抽样定理 信号的重建 选取 Ωc=Ωs/2，则有 上式表明，任何一个带限信号都可以展开成抽样函数的一个无穷级数，其系数就是该带限信号的样本值。换言之，若在 xp(t) 的每一个抽样点上，画一个峰值为 x(nTs) 的抽样函数，它们叠加的结果就是 x(t)。 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 能量信号的相关定理（以 CFT 为例）： 对于连续时间能量信号 x(t) 和 y(t)，其互相关函数定义为 计算 rxy(t) 的 CFT，有 上述性质表明，两个连续时间能量信号互相关函数的傅里叶变换，等于其中一个信号的频谱乘以另一个信号频谱的共轭。 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 也可以从卷积与互相关的关系入手： 令 则有 即 根据傅里叶变换的时域卷积性质也可以得到 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 对于自相关函数则有： 这就说明，一个能量信号自相关函数的傅里叶变换等于该信号傅里叶变换模的平方。 DTFT 情况下： DFT 情况下： 其中 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 能量信号的帕什瓦尔定理（以 CFT 为例）： 由相关定理可知 代入 CFT 的反变换公式 根据自相关函数的定义 这就是 CFT 的帕什瓦尔定理。 DTFT情况下的帕什瓦尔定理： DFT情况下的帕什瓦尔定理： 帕什瓦尔定理表明一个能量信号在时域上计算的能量，等于该信号的频谱在频域上计算出的能量。 8. 能量信号的相关定理与帕什瓦尔定理 连续时间信号的能量谱： 帕什瓦尔定理表明， |X(jΩ)|2 反映了x(t) 的能量在频域上的分布，故把 |X(jΩ)|2 称为 x(t) 的能量谱密度，简称能量谱。它表示单位带宽内的能量，用 E(jΩ) 来表示，即 离散时间信号的能量谱： 9. 能量谱与功率谱 9. 能量谱与功率谱 功率信号的相关定理（以