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南昌大学基础数学 南昌大学基础数学 6.1 随机样本和统计量 一、总体、个体、随机样本 二、统计量 直方图例 例2 分布表1 直方图1 分布表2 直方图2 直方图3 * * 一、总体、个体、随机样本 二、统计量 数理统计学是运用概率论的知识,对所要研究的随机现象进行多次观察或试验,研究如何合理地获得数据资料,对所关心的问题作出估计与检验的一门学科. 通常指研究对象的某项数量指标 总体中的每个元素 例如: 某工厂生产的灯泡寿命是一个总体,每个灯泡的寿命是一个个体; 某学校男生的身高的全体是一个总体,每个男生的身高是一个个体 研究对象的全体 常用一个随机变量X来表示 总体: 个体: 从总体中抽取一部分个体来进行观察或试验,称为抽样; 被抽出的部分个体称为总体的一个样本 抽取样本的目的在于对总体的统计规律进行推断或估计, 故要求所抽取的样本能很好的反映总体的特性 定义: 设X1, X2, ... , Xn为来自总体X的样本,如果X1, X2, ... , Xn相互独立,且每一个都是与总体X有相同分布的随机变量, 则称X1, X2, ... , Xn为总体X的容量为n的简单随机样本,简称为随机样本或样本,其观察值x1, x2, ... , xn称为样本值 由定义知,若X1,X2,...,Xn为X的一个样本, X的分布函数为F(x),则X1,X2,...,Xn的联合分布函数为: 若X的概率密度为f(x),则X1,X2,...,Xn的联合概率密度为: 例如,估计一个物体的重量,重复n次称重,其结果依次记为X1,X2,...,Xn 通常用样本的算术平均值 ,或其 它某个由样本计算出来的且看上去合理的量来估计重量 在获得了样本之后,下一步对样本进行统计分析, 即对样本进行加工、整理, 从中提取有用信息 定义: 设X1,X2,...,Xn是总体X的一个样本,随机变量g(X1,X2,...,Xn)是X1,X2,...,Xn的一个连续函数,且g中不包含任何未知参数,则称g(X1,X2,...,Xn)为一个统计量 统计量是样本的函数,它是一个随机变量,统计量的分布称为抽样分布 设(x1, x2, ... , xn)是样本(X1,X2,...,Xn)的样本值,则称g(x1, x2, ... , xn)是g(X1,X2,...,Xn)的观察值. C 例1 设总体X～B(2, p),其中p为未知参数, (X1, X2, X3)是取自总体X的样本,则____不是统计量 (A) X1+X2 (B) max{X1, X2, X3} (C) X3 +2p (D) (X2?X1)2 设X1,X2,...,Xn是总体X的一个样本, 样本平均值: 样本方差: 样本标准差: 常用统计量: 样本k阶(原点)矩: (k=1,2,…) 样本k阶中心矩: (k=1,2,…) 样本平均值: 样本方差: 样本k阶中心矩: 样本k阶(原点)矩: (k=1,2,…) 它们的观察值分别为: 由样本平均值和样本方差的表达式可得: 简化计算方法 令 则 经验分布函数 经验分布 为子样的经验分布函数. 设子样为 对任意实数 子样值中小于或等于 的个数为 则称 同分布函数 一样具有性质： 非降、右连续、 由子样频数分布得子样经验分布函数： 图 子样经验分布函数图形 1 o o x o o o 格利汶科 由Chebyshev 大数定律, 对任意 即 子样经验分布函数 总 体分布函数 依概率收敛于 格利汶科(W.Glivenko)定理 当 时, 经验分布函数依概率 关于x均匀地收敛于母体分布函数 即 对固定x成立 (1)频数直方图 样本数据 频率直方图 经验分布函数 某班50名学生概率考试成绩如下： 75 65 80 81 92 63 77 79 54 98 85 72 66 84 83 60 82 78 64 90 81 78 76 86 68 76 73 71 88 87 直方图 65 57 46 89 78 66 87 79 84 78 96 88 67 38 67 75 83 82 68 85 例2 由于 故分 9 组, 每组组距为7, 于是可得 平均分 频 数分布表 频数直方图 继而画出 38~44 45~51 52~58 59~65 66~72 73~79 80~86 87~93 94~99 组 限 组中值 41 48 55