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第二章 贝叶斯推断 §2.1 条件方法 §2.2 估计 §2.3 区间估计(可信区间) §2.4 假设检验 §2.5 预测 §2.6 似然原理 §2.1 条件方法 §2.2 估计 表2.1 不合格率 的二种贝叶斯估计的比较 例2.4 设x是来自如下指数分布的一个观察值。 又取柯西分布作为θ的先验分布，即： 求θ的最大后验估计 。 解：由前面方法可求出θ的后验密度： 为了寻找θ的最大后验估计 ，对后验密度求导数，得： 由于π(θ|x)的非减性，考虑到θ的取值不能超过x，故θ的 最大后验估计应为 =x 显然， 的后验均方差就是上述Var(θ/x)， 的后验均方差为： 对若干对(n,x)的值算得的后验方差和后验均方差列入表2.2中。 §2.3 区间估计(可信区间) 例2.8 80年代我国彩电平均寿命的贝叶斯估计。 经过早期筛选后的彩色电视机的寿命服从指数分布，它的密度函数为：其中θ0是彩电的平均寿命。 现从一批彩电中随机抽取n台进行寿命试验，试验到第r(r≤n)台失效为止，其失效时间为 ，另外n-r台彩电直到试验停止时还未失效，这样的试验称为截尾寿命试验，所得样本 称为截尾样本，此截尾样本的联合密度函数为：其中F(t)为彩电的寿命的分布函数， 称为总试验时间。 (1)确定参数θ的先验分布：倒伽玛分布IGa(α,β)(2)利用历史资料确定两个超参数α和β的值（用第三种方法）(3)求出θ的后验分布：IGa(α+r,β+Sr)(4)用后验均值作为θ的贝叶斯估计：(5)可信下限的确定 二、最大后验密度（HPD）可信区间 定义2.4 设参数θ的后验密度为π(θ|x)，对给定的概率1-α(0α1)，若在直线上存在这样一个子集C，满足下列二个条件： ①P(C|x)=1-α ②对任给θ1∈C和 ，总有π(θ1|x)≥π(θ2|x)，则称C是θ的可信水平为(1-α)的最大后验密度可信集，简称(1-α)HPD可信集，如果C是一个区间，则C又称为(1-α)HPD可信区间。 注：后验密度函数π(θ|x)是θ的单峰连续函数时，获得θ的(1-α)HPD可信区间的数值计算方法： Step1：对给定的k，建立子程序；解方程π(θ|x)=k,得 解θ1(k)和θ2(k),从而组成一个区间: C(k)=[ θ1(k),θ2(k)]={ θ:π(θ|x) ≥k}。 Step2：建立第二个子程序，用来计算概率： Step3：对给定的k，若P(θ∈C(k)|x)≈1-α，则C(k)即 为所求的HPD可信区间。 若P(θ∈C(k)|x)1-α，则增大k，再转入Step1与Step2。 若P(θ∈C(k)|x)1-α，则减小k，再转入Step1与Step2。 例2.9 在2.8中已经确定彩电平均寿命θ的后验分布为倒伽玛分布IGa（1.956，42868），现求θ的可信水平为0.90的最大后验密度（HPD）可信区间。 解题的基本步骤： 1.确定参数θ的后验密度和分布函数： 后验密度： 分布函数： 2.确定初始值 3.按第一步计算初始区间 4.计算后验概率 5.验证初始区间是否满足要求，满足则停止，否则继续。 表2.3 可信区间的有哪些信誉好的足球投注网站过程 §2.4 假设检验 一、假设检验 经典统计中处理假设检验问题的基本步骤： 1.建立原假设H0与备择假设H1： H0：θ∈Θ0，H1：θ∈Θ1 其中Θ0与Θ1是参数空间Θ中不相交的二个非空子集。 2.选择检验统计量T=T(x)，使其在原假设H0为真时概率分布是已知的。这是在经典方法中最困难的一步。 3.对给定的显著性水平α(0α1)，确定拒绝域W，使犯第Ⅰ类错误（拒真错误）的概率不超过α。 4.当样本观察值x落入拒绝域W时，就拒绝原假设H0，接受备择假设H1；否则就保留原假设。 贝叶斯统计中处理假设检验问题的基本思想： 获得后验分布π(θ|x)后，先计算二个假设H0和H1的后验概率： αi=P(Θi|x)，i=0,1然后比较α0与α1的大小： 当后验概率比(或称后验机会比)α0/α11时接受H0； 当α0/α11时接受H1； 当α0/α1≈1时，不宜做判断，还需要进一步抽样或进一步收集先验信息。 由这两个学派假设检验的基本思