§1.11_对称多项式.pptVIP

* 第一章 多项式 * * * §1.11 对称多项式 对称多项式是多元多项式中常见的一种，也是一类比较重要的多元多项式，它的应用比较广泛，对称多项式的来源之一以及它应用的一个重要方面，是一元多项式根的研究，下面我们从一元多项式的根与系数的关系谈起。 设 是 的一个多项式， 如果 在F中有n个根 （重根按重数计算）， 则 可分解为 把上式展开，比较两边系数， 得根与系数关系如下： 由此看出，多项式的系数是对称地依赖于方程 的根的，改写上述方程组得 —（1） 所得n个n元多项式是对称地依赖于文字 下面给出对称多项式的概念。 定义1.11.1： 对于n元多项式 如果对任意的 都有 则称这个多项式为对称多项式。 例如： 是一个三元对称多项式， 是一个n元对称多项式。 都是n元对称多项式， （1）中的 称为初等对称多项式。 并非每一个多项式都是对称多项式， 例如 这时 由定义可以推出： 1、两个n元对称多项式的和、差、积仍是n元 对称多项式； 2、如果一个对称多项式 含有一项 则 也一定含有一切形如 的项。这里 是 的任意一个排列； 3、如果 是n元对称多项式，而 是任一多项式，那么 是n元对称多项式。 在对称多项式的理论中，初等对称多项式占有一个很重要的地位。下面将要证明，每一个n元对称多项式都可以唯一地表示成初等对称多项式 的多项式。这是对称多项式的基本定理。 下面不加证明给出一个引理。 引理1.11.1：设 是数域F上一个n元多项式，以 代替 得关于 的一个多项式 如果 则有 定理1.11.1： 数域F上每个n元对称多项式 都可以表成关于初等对称多项式 的多项式 且这种表示方法是唯一的。 证明： 1、设对称多项式 按字典排列的首项是 —（2） 则这一项的幂指数 必满足不等式： 不然，设有某个i，使 由于 是对称多项式，故 也含有项 —（3） 而按字典排列法，（3）项应在（2）项之前，这与（2）项是首项矛盾。 2、令 由 知，每一个 的幂指数都是非负 整数，而作为一些初等对称的幂的乘积， 是 的一个对称多项式， 的首项是 它等于f的首项。因此令 是一个n元对称多项式，且 的首项，对 的首项小于f 对称多项式 重复上述消去首相的方法，我们得到 是F上的初等对称多项式的 幂的乘积， 的首项小于 的首项。 如此继续作下去，这个过程一定在有限步后终止，即存在一个自然数m，使 这是因为，若 —（4） 是某个 的首项。 由于 是对称多项式。所以这一项的幂指数 必须满足不等式 另一方面，（4）项小于项（2），故 且 是有限数，满足这样的数组只能是有限多组。 因此经过有限步后，必有一 于是我们得一串等式 把这一串等式相加，即得 这里每一 都是F上关于初等对称多项式 的幂的乘积，可是f可以表成 的多项式。 下证表方法是唯一的。 如果多项式 有两种表达式： 和 都是 的多项式。 由引理1.11.1： 故 因此 基本定理的证明同时给出一个用初等对称多项式来表示对称多项式的方法。 例1：用初等对称多项式表示n元对称多项式 f的首项是 对应的n元数组为 故取 于是 故 对于复杂的对称多项式，可以利用待定系数法来求。 设 是F上一个单项式，用符号 —（5） 表示这个单项式经过 的一切置换所得的所有不同项的和。 * 第一章 多项式 *