第7章有限元法基础——一维问题分析.ppt

第七章 有限元法基础——一维问题分析 本章介绍一维问题的有限元分析 有限元分析求解的过程 7.1 热传递问题 边界条件 公式推导 推导单元的传导矩阵和热负荷矩阵 微分方程 的普遍形式 用迦辽金方法进行求解 化简方程 对上面方程中的四项分别计算 用同样的方式，能够计算出对于节点j的第二个余数方程 方程（7.2）和方程（7.3）计算的结果产生两个线性方程组，表示为矩阵形式 将上式写成如下形式 参数意义解释： 下面以一维悬臂梁为例来说明以上方程 经整理简化 除最后一个单元外，其它单元的传导矩阵为 除最后一个单元外，其它单元的热负荷矩阵为 7.2 固体力学问题 最小势能理论：对于稳定系统，平衡位置处出现的位移，使得系统的总势能最小。 任意单元的应变能为 写成矩阵形式： 例2 ：带有钢柱的四层建筑物 单元（1），（2），（3）和（4）的刚度矩阵为 总体刚度为： * （1） 给出用于热传递问题的迦辽金（Galerkin） 公式； （2）讨论一维固体力学问题的最小势能公式。 预处理阶段 建立求解域并将之离散化成有限元，即将问题分解成节点和单元 。 2. 假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似 连续函数。 3. 对单元建立方程。这是本章的主要部分。我们用迦辽金方法 和最小势能理论建立描述单元的公式。 4. 将单元组合，以表示整体问题，构造总体刚度或传导矩阵。 5. 应用边界条件和负荷。 求解阶段 求解微分方程组得到节点的值，例如得到不同节点的位移量 或热传递问题中不同节点的温度值。 后处理阶段 7. 得到其它重要信息。例如应力，热损失量等。 讨论悬臂梁的热传递问题，如下图所示，悬臂梁分成三个单元，四个节点，温度沿单元的分布用线性函数进行插值。 悬臂梁的实际和近似温度 考虑悬臂梁的一个典型单元，悬臂梁的一维热传导由以下方程决定： 式中，k是热传导率，A为悬臂梁的横截面面积，h为对流热传递系数，p为悬臂梁的周长， 是周围流体 的温度。 （7.1） 基座的温度已知 有三种可能性 （1）一种是梁的末端足够长，以致梁的末端温度等于周围 流体的温度。 （2）梁的末端损失的热量可忽略。 （3）如果分析中必须包括悬臂梁末端损失的热量，则必须 有以下条件： 应用傅里叶定律 应用牛顿冷却定律 经化简得 对单元使用线性形函数近似 形函数为 T=c1+c2X 令 方程（7.1）写为普遍形式 书上用c1、c2、c3，为避免混淆，在此用a、b、c。 因为形函数是近似解的成员，将形函数用做权函数。 （7.2） （7.3） 迦辽金余数 误差（余数） 控制方程较复杂 因为线性函数的二阶导数为零，所以我们将二阶项化为一阶项。 继续变化方程，得 化简得： 直接公式法：单元传导矩阵 直接公式法：单元传导矩阵 对于热传递问题： 代表a系数表示的单元的传导率， 代表b系数表示的单元的传导率。 是给定单元的负荷矩阵。 为传导矩阵和负荷矩阵。对于特定的边界 条件，需要计算它们。 直接公式法：单元传导矩阵 传导矩阵为 对于包含末端表面的最后单元，并考虑边界条件， 末端表面损失的热量为： 直接公式法：单元传导矩阵 如果考虑悬臂梁末端损失的热量，包括最后 一个单元的热传导矩阵为 如果分析中包括悬臂梁末端损失的热量，最后一个单元的热负荷矩阵为： 例1：工业炉的墙壁如图由3种材料组成：第一层为10cm的粘土水泥，热传导率为0.10 W/(m2K)；第二层为20cm的石棉板，热传导率为0.07 W/(m2K)； 外层为10cm的常用砖， 热传导率为 0.70 W/(m2K)。炉内壁温度为200oC，外部