第一二节(傅里叶级数和积分).ppt

在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如: 具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). 最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T 而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt 人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近. 傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角 级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的 周期函数。 例如：对称方波的傅立叶展开 * * 在许多实际问题中，人们往往通过适当的变换把一个复杂 的问题化成简单的问题研究。 例如，通过对数变换，把除法 化为加减运算，通过分式变换把复杂区域化为简单区域等。 傅里叶变换在电学、力学、控制理论等许多工程和科学领域 中有广泛的应用。 傅里叶级数的应用可在力学中振动和波动部分找到：任何 振动和波动都可以表示为谐振动和谐波的叠加——傅里叶级数 展开. 第五章 傅里叶变换 t §5.1 傅里叶级数 t 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 函数f(x)以2l为周期,即有: 则可取三角函数族 作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数 (一) 周期函数的傅里叶展开 函数族正交 即任意两个函数的乘积在一个周期上积分为零 利用三角函数的正交性,可得展开系数为: 其中 叫做周期函数f(x)的 傅里叶级数展开式, 展开系数称为傅里叶系数 狄里希利定理: 若函数f(x)满足:(1)处处连续或者在每个周期 中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值 点,则级数收敛,且 (二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开 若周期函数f(x)是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得 a0及ak都等于零,则展开式变为: 这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性,展开系数为: 又 级数和在x=0和x=l处都为零. 若周期函数f(x)是偶函数,则由傅里叶系数bk=0,展开式为: 这里称为傅里叶余弦级数,由于对称性,展开系数为: 余弦的导数为正弦,余弦级数的和的导数在x=0和x=l为零. (三) 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 对于在有限区间,如(0,l)有定义的函数f(x),可以采用延拓的方法 ,让它称为某个周期函数g(x),且在(0,l)上 然后再对 g(x)作傅里叶级数展开,其级数和在区间(0,l)上代表f(x). 又f(x)在(0,l)外无定义,可以有无数种延拓方式,便有无数种展开 但这些展开在区间(0,l)上代表f(x),若对函数f(x)在边界的行为有 限制,满足一定的边界条件,就决定了如何延拓,例: 应延拓成奇的周期函数. 应延拓成偶的周期函数. (四) 复数形式的傅里叶级数 取复指数函数 作为基本函数族,可以将周期函数f(x)展开成复数形式的 傅里叶级数 且利用复指数函数的正交性,可求出傅里叶系数为: 这里虽然f(x)是实函数,但傅里叶系数有可能是复数,并且可得 §5.2 傅里叶积分与傅里叶变换 (一) 实数形式的傅里叶变换 设f(x)为定义在区间 上的函数,一般地，非周期 函数不能展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开,采用 如下办法:将非周期函数f(x)看成某个周期函数g(x)当周期 的极限形式, 这样g(x)的傅里叶级数展开 在 的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开. 引入不连续参量 其傅里叶系数为: 代入展开式: 然后取极限 即可. 对于系数a0,如果 有限,则有 余弦部分为: 又 离散参量 成为连续参量 记为 对k的求和就变成对连续参量 的积分,即: 同理,正弦部分的极限是: 则在 极限形式为: 其中 分别为: 称为傅里叶积分 为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式. f(x)的傅里叶变换式 傅里叶积分定理: 函数在f(x)区间 满足(1) 在任一 有限区间满足狄里希利条件,(2)f(x)在 绝对可积, 收敛) 则f(x)可表示成傅里叶积分,且 积分值=[f(x+0)+f(x-0)]/2 振幅谱 相位谱 奇函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶正弦积分 其中 是f(x)的傅里叶正弦变换 偶函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶余弦积分 其中 是f(x)的傅里叶余弦变换 奇函数 偶函数 傅里叶正弦变换 傅里叶余弦变换 写成对称的形式如下: 傅里叶正弦变换对 傅