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第三章 离散傅里叶变换DFT（一）  Chapter 3 Discrete Fourier-Transform （Part Ⅰ） 主要内容 3.1连续时间信号的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换（DTFT） 3.3连续时间信号的抽样 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 3.1连续时间信号的傅里叶变换 周期连续信号傅里叶级数展开 3.1连续时间信号的傅里叶变换 非周期连续信号傅里叶变换 典型非周期信号频谱函数 3.2离散时间序列的傅里叶变换 离散序列的傅里叶变换（DTFT） 3.2离散时间序列的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换 例：求以下序列的傅里叶变换 解 3.2离散时间序列的傅里叶变换 解 3.2离散时间序列的傅里叶变换 DTFT基本性质 3.2离散时间序列的傅里叶变换 DTFT对称性 3.2离散时间序列的傅里叶变换 DTFT对称性 3.2离散时间序列的傅里叶变换 DTFT对称性 3.2离散时间序列的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换 实序列DTFT奇、偶、虚、实对称性质 3.3连续时间信号的抽样 抽样原理（采样、sample） 3.3连续时间信号的抽样 需要解决的问题 理想冲激序列抽样 讨论：采样周期变化对频谱的影响 3.3连续时间信号的抽样 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 习惯上将以上的式（2），（3）中的定标因子移到反变换中，得到离散傅里叶变换（ DFT ）： 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS） 总结：DFT与周期延拓 * * 周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐段光滑）时，可展成： 其中： 周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。 周期信号的频谱图 （双边频谱） 该变换存在的充分条件： 频谱密度函数 单位频带上的频谱值 周期信号的傅氏级数： 周期信号的频谱： （2）可写为： 令 则： f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。 周期信号 ? 非周期信号 离散谱 ? 连续谱，幅度无限小 （1）可写为： 令 则： 因此，DTFT也可看作是周期信号X(.)在频域内展成傅里叶级数，其傅里叶系数是时域信号x(n)。 对照以下两组变换式： x(-n) x*(n) 频移 x(n) 时移 x(n-n0 ) 时域卷积定理 x(n)* y(n) a、b为常数 线性 ax(n)+by(n) y(n) x(n) 傅里叶变换 序列 DTFT对称性 周期 序列 f(t)：有限带宽信号 1) 当Ωs ?2Ωm时，Fs(j Ω)是F(j Ω)在不同Ωs倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts 。 2) 当Ωs2Ωm时，Fs(j Ω)中出现F(j Ω) 的叠加与混合（混迭现象） 。 结论： 即：从 fs(t)中恢复f(t) 实现：低通滤波器 要求低通滤波器： 信号f(t)的恢复 理想冲激抽样时 结论： 一个周期为N的周期序列，即 其中，k为任意整数，N为周期； 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-?到+?都周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。 2. 时域频域各取一个周期,得到DFT *