第二章单自由度系统的振动44.ppt

一 杜哈姆积分的数值计算方法 当作用于体系上的荷载函数是已知的而且便于积分时，则可由杜哈姆积分直接求出。然而，当荷载函数较复杂，不便于直接积分，就需要借助数值积分方法求解。下面以无阻尼情况为例来讨论，有阻尼情况可参考。 设初始条件为零，则引入符号： （1） 则杜哈姆积分可简写为： （2） 对（1）式可采用辛普生积分公式来计算。（参考数值计算方法）由此便可求得杜哈姆积分。 2.7 单自由度体系振动计算的数值法 二 加速度冲量外推法 有阻尼受迫振动的运动方程可写成： （a） 采用递推公式来求解微分方程，步骤如下： 1、将时间t划分成等间距的等分点： 2、确定初始条件： 3、推导： 设在点 i-1，i，i+1区间，位移用二次抛物线来代替真实的位移曲线，则在此区间内的位移方程y(t)可近似取为： （b） （c） 于是由（c）式可得： （1） 将（1）式代人（b）式得： （e） i点的加速度可由（a）使求得： （d） 将（e）式代人（d）式整理得： （2） 由（1）、（2）便可求出各个分点上的位移。 4、注意，对于 由于 不存在，不能应用（1）式求得，对此可采用近似公式计算： 此式的物理意义是把第一区间的运动视为等加速度运动。如不考虑阻尼，则（2）式可简化为 三 线加速度法 1、增量型动平衡方程： 在任一瞬间，质量m上力的平衡方程： 经过Dt时间后，成为： 运动方程的增量形式： 运动增量平衡方程的最终形式： （1） 线性加速度法： 假定在每个时间增量内加速度线性变化，而且体系的特性在这个间隔内保持为常量。 代入： 代入 得到： （3） （2） 得到： （5） （6） （7） （4） 为了避免累计误差，利用总的平衡条件： 逐步积分法的步骤（略）。 （8） （9） 逐步积分法的步骤： 1）确定任一区间的初始速度和初始位移； 2）根据（8）式求出区间的初始加速度； 3）根据（5）（6）式计算等效刚度和等效增量荷载； 4）根据（7）式计算位移增量； 5）根据（3）式计算速度增量； 6）由（9）式计算区间末端的位移和速度； 7）重复2）-6）步骤，计算下一区间，直到体系的动力响应过程完全被确定。 Wilson-q法 Wilson-q法：假定在每个时间段(t,t+qDt)内加速度线性变化，而且体系的特性在(t,t+Dt)内保持为常量。 Newmark-b法 无条件稳定要求： 无人工阻尼要求： 无条件稳定要求： Newmark-b法 （b=1/4） Newmark-b法 （b=1/4） 平衡方程： 2.8 用Rayleigh法进行振动分析 自由振动位移： 自由振动速度： 弹簧变形能： 质量块动能： 自振频率： Rayleigh法的理论基础为能量守恒定律。即认为如果没有阻尼力消耗能量的话，在自由振动体系中，能量应该保持常量。 最大动能等于最大位能： 这个表达式和以前所述的一样，但现在它是从最大变形能应等于最大动能的Rayleigh法概念而得。 例子：简支梁，认为是无限自由度 2.8.1一般体系的近似分析 体系变形能： 最大值： 体系动能： 由Rayleigh法： 最大值： → k* → m* 例子：简支梁，认为是无限自由度 2.8.2振动形状的选取 假定振型为抛物线： 能量守恒： 假定振型为正弦曲线： 能量守恒： 假定振型为抛物线： 假定振型为正弦曲线： 原则上，只要满足梁的几何边界条件，形状函数可任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支承条件一致。 但是，对不是真实振型的任意形状函数，为了保持平衡就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将会使体系变得刚硬，从而使计算频率增大。 Rayleigh法计算的频率中，最低的一个，总是最好的近似值！ Question: 如何确定合理的挠曲形状？ Solution: 自由振动的位移是由惯性力作用引起的； 惯性力正比于质量×加速度（质量分布及位移幅值） 因此：正确的振动形式yc(x)为正比于m(x)yc(x)的荷载所引起的挠曲线。 近似做法：采用荷载 作用时的挠曲线作为yc(x)具有很高的精度。 最大动能： 最大变形能： 能量守恒： 注意： 再近似： 假定惯性荷载为梁的重量，即 频率计算将根据静止重量荷载所引起的挠曲线vd(t)进行。 此时，体系的变形能必然等于重量荷载所做的功。 例E9-2 假定变形曲线 最大位能 最大动能 Finish?