第二章行列式3(nxpowerlite).ppt

例1 求7元排列7215463的逆序数? 例2 计算下列各排列的逆序数. (2) 排列 例2 (1) 定义4 把一个排列中某两个数的位置互换,而其余的数不动,就得到另一个排列,对排列施行的这样一个变换,称为一个对换. 若jk, 的对换得 定理2 任意一个n元排列 可经一系列的对换变为自然排列,并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 于是经同样的对换,可得 变到 12…(n-1)n. 习题96页 5 §1 二、三级行列式 根据二级行列式的定义与上述的规律,它可表示为 三级行列式定义 应用三级行列式解三元线性方程组 其中 所以方程组有唯一解,再计算 §3 n级行列式 规律 同理 计算行列式 例2 计算行列式 例3 计算n级行列式 例4 计算5级行列式 例5 在函数 中 解: 中每一项都含有第二行元素, 这一项其它元素不能再取第一列元素,于是 第二章 行列式 § 2 排 列 问:什么叫n阶排列? 定义1 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列. 问:n个数码能组成多少个n元排列? 例 312,213都是3元排列,在3元排列中,除123是按自然顺序外,其余排列中都有 较大数码排在较小数码的前面,例231, 2排在1前面,此时说2与1构成一个反序,同样3与1也构成一个反序. 问:什么叫逆序,逆序数?怎样计算一个排列的逆序数? 定义2 在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 设排在1前面的数 排在2前面且比2大的数码个 排在n-1前面且比n-1大的数码 解: 并确定它们的奇偶性? 解:从左边起,分别算出排列中每个元素的逆序数,然后将它们相加得 (1) 逆序数 逆序数 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列.逆序数为奇数的 排列称为奇排列. 因此31452是偶排列. 因此65412是奇排列. 因此12345也是偶排列. 于是所给排列的奇偶性与k的奇偶性相同. 故为奇排列. 故为偶排列. 故为偶排列. 故为奇排列. 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说:经过一次对换,奇排列变成偶排列,偶排列变成奇排列. 证:特殊的情况, 即对换的两个数在排列中相邻的, 其中A与B代表若干个数码, 施行对换(j,k), 比较两个排列的逆序数, 发现,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数码构成的反序数没有改变; 同时j与k和A或B数码所构成的反序数又没有改变,而j与k在对换前与对换后所构成的反序数不同. 若jk, j与k在对对换前构成一个反序,对换后不构成反序; j与k在对换前不构成反序,但在对 换后构成一个反序. 无论哪种情况,对换前 与对换后排列的反序数均差1, 因而对换改变排列的奇偶数. 对换不相邻的两个数码, 设n元排列 施行对换(j,k)得 对换前j与k之间s个数码 先让j向右 移动,依次与 上面排列再让k向左移动,依次与 对换,这样施行s+1次相邻两数码的对换后的排列,于是对换前的排列经2s+1次相邻数码的对换变为对换后的排列,由(1)知对换前排列与对换后排列的奇偶性不同. 自然排列 所作对换次数是3与 都是奇数. 证明:数学归纳法 当n=2时,结论显然成立. 假设n-1元排列成立, 考察n元排列 可经一系列对对换变为12…(n-1). 我们有 于是归纳为(1)情况, 因此对n元排列结论 成立. 定理3 时,n个数码的奇排列与偶排列的个数相等,各为 个. 解:因为比 大的数有 所以在两个 逆序总数为 什么叫线性方程组? 行列式起源于解2x2和3x3的线性方程组. 二元线性方程组 此方程组有唯一解,即 称为二级行列式. 表示第i行第j列的元素. 二级行列式有如下规律 1. 共有2!项, 2. 每项都有两个元素相乘,这两个元素既位于不同的行又位于不同的列. 3. 每项元素的行标按自然顺序排列后,当列标组成奇排列时,该项符号为负;当列标组成偶排列时,该项符号为正. 规律: 1. 共有3!项. 2. 每项都有三个元素相乘,这三个元素既位于不同的行又位于不同的列. 3. 每项元素行标按自然顺序排列后,当列标组成奇排列时,该项符号为负;当列标组成偶排列时,该项符号为正. 因此三级行列式可表示为 三元一次方程组 的系数行列式 那么这个方程组有唯一解,解是 例1 解线性方程组 解:系数行列式 于是方程组的解为 定义4 n级行列式 等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和. 是1,2,…,n的一个 排列,每一项(5)都按下列