南京师范大学QM-C5-微扰理论.pptVIP

（2）试探波函数 令： 则 H0的本征函数 由于 H1, H2 是类氢原子的 Hamilton 量，其本征函数已知为： 将其作为氦原子基态 试探波函数。 （3）变分参数的选取 当二核外电子有相互作用时，它们相互起屏蔽作用，使得核有效电荷不是 2e，因此可选 Z 为变分参数。 （4）变分法求基态能量 1.下面我们将使用 H-F 定理求解上述两个平均值。 由“Hellmann – Feynman” 定理，在中心力场问题中的应用”中的例（2）的结果可知 对基态 n = 1 由H-F定理可证： 证： [证毕] 所以 于是 2. 下面求平均值 H12 令： 积分公式 3.平均值 H 4.求极值 5.基态近似能量 （5）基态近似波函数 作 业 周世勋 《量子力学教程》 5.1、5.2、5.3 曾谨言 《量子力学导论》 10.1、10.3、10.8、10.9、10.10 §1 含时微扰理论 §2 量子跃迁几率 §3 光的发射和吸收 5.6 含时微扰理论 (一) 引言 上一章中，定态微扰理论讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论的体系 Hamilton 算符不显含时间，因而求解的是定态 Schrodinger 方程。 本章讨论的体系其 Hamilton 算符含有与时间有关的微扰，即： 因为 Hamilton 量与时间有关，所以体系波函数须由含时 SE解出。但是精确求解这种问题通常是很困难的，而定态微扰法在此又不适用，这就需要发展与时间有关的微扰理论。 含时微扰理论可以通过 H0 的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。 假定 H0 的本征 函数 ?n 满足： H0 的定态波函数可以写为：?n =?n exp[-iεnt /?] 满足左边含时 S - 方程： 定态波函数 ?n 构成正交完备系，整个体系的波函数 ? 可按 ?n 展开： 代入 因 H’(t)不含对时间 t 的偏导数算符,故可 与 an(t) 对易。 相消 （二）含时微扰理论 以?m* 左乘上式后 对全空间积分 该式是通过展开式 改写而成的 Schrodinger方程的另一种形式。仍是严格的。 含时薛定谔方程 求解含时SE的方法同定态微扰中使用的方法： （1）引进一个参量?，用? H’ 代替 H’（在最后结果中再令? = 1）； （2）将 an(t) 展开成下列幂级数； （3）代入上式并按?幂次分类； (4) 解这组方程，我们可得到关于an 的各级近似解，近而得到波函数 ? 的近似解。实际上，大多数情况下，只求一级近似就足够了。 （最后令 ? = 1，即用 H’mn代替? H’mn，用a m (1)代替 ?a m (1)。） 零级近似波函数 am(0)不随时 间变化，它由未微扰时体系 所处的初始状态所决定。 假定t ? 0 时，体系处于 H0 的第 k 个本征态 ?k。而且由于 exp[-i?n t/?]|t=0 = 1，于是有： 比较等式两边得 比较等号两边同 ? 幂次项得： 因 an(0)不随时间变化，所以 an(0)(t) = an(0)(0) = ?nk。 t ? 0 后加入微扰，则第一级近似： an(0)(t) = ?n k 假定 H0 的本征函数 ?n 满足： 考虑该初始条件，得到SE的解为： 求解含时SE的小结： 考虑体系的某一状态 t=0时，体系处在?k态,t 时刻发现体系处于 ?m 态的几率等于 | a m (t) | 2 am(0) (t) = ?mk 末态不等于初态时 ?mk = 0，则 所以体系在微扰作用下由初态 ?k 跃迁到末态?m 的几率在一级近似下为： 跃迁几率 5.7 量子跃迁几率 （一）跃迁几率 （二）一阶常微扰 （三）简谐微扰 （四）实例 （五）能量和时间测不准关系 根据前面的讨论，我们知道：在一级近似下，体系在微扰作用下由初态 ?k 跃迁到末态?m 的几率为： （一）跃迁几率 我们下面考虑两种典型情况： （1）常维扰； （2）周期维扰； （1）含时 Hamilton 量 设 H’ 在 0 ? t ? t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即： （2）一级微扰近似 am(1) H’mk 与 t 无关 (0 ? t ? t1) （二）一阶常微扰 （3）跃迁几率和跃迁速率 极限公式： 则当t →∞ 时 上式右第二个分式有如下极限值： 于是： 跃迁速率： （4）讨论 1.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁