南京师范大学QM-C4-态和力学量的表象.pptVIP

（2）左矢空间 右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为 |。例如： Dirac 符号 右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间， ψ | 和 |ψ 称为伴矢量。 p’|, x’|, Qn | 组成左矢空间的完备基，任一左矢量可按其展开，即左矢空间的任一矢量可按左矢空间的完备基展开。 （3）伴矢量|ψ 和 ψ|的关系 |ψ 按 Q 的右基矢 |Qn 展开 |ψ = a1 |Q1 + a2 |Q2 + ... + an |Qn + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： ψ| 按 Q 的左基矢 Qn | 展开： ψ| = a*1 Q1 | + a*2 Q2 | + ... + a*n Qn | + ... 展开系数即相当于 Q 表象中的表示： ψ+ = (a*1, a*2, ..., a*n, ... ) 同理 某一左矢量 φ| 亦可按 Q 的左基矢展开： φ| = b*1 Q1 | + b*2 Q2 | +... + b*n Qn | + ... 定义|ψ和 φ| 的标积为： 显然 φ|ψ* = ψ|φ 这就是用Dirac 表示的波函数 归一化条件。 由标积定义得: 本征态的正交归 一化条件可写为： 由此可以看出 |ψ 和 ψ|的关系： 1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加； 3）任一右矢可以和任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。 （4）本征函数的封闭性 展开式 两边左乘 Qm | 得: 将 a n 代回原式得： 因为 |ψ 是任意态矢量，所以 成立。 本征矢 |Qn 的封闭性 I 分 立 谱 对于连续谱 |q ，q 取连续值，任一状态 |ψ 展开式为： II 连 续 谱 左乘 q | 代入 原式 因为 |ψ 是任意态矢，所以有 同理，对于 |x’ 和 |p 分 别 有 这就是连续本征值的本征矢的封闭性。 由于 所以 它们也称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。 例如：在 |ψ 左侧插入算符 同理 即得态矢按各种力学量本征矢的展开式 投影算符 |QnQn|或|qq| 的作用相当一个算符，它作用在任一态矢|ψ 上，相当于把 |ψ 投影到右基矢 |Qn 或 |q 上，故称 |QnQn| 和 |qq| 为投影算符。 因为|ψ 在 x 表象的表示是ψ(x, t)，所以显然有： 封闭性在 X 表象中的表示 左乘 x| 右乘 |x 分立谱 投影算符 正交归一性的表示式是对坐标的积分： 封闭性表示式是对本征值求和或积分： 所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。 连续谱 封闭性与正交归一性比较 在形式上 二者相似 区别 (1) 右矢空间 在抽象的Dirac表象 Dirac 符号的特点是简单灵活。如果欲把上式写至 Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。 左乘 Qm | 把公式 变到 Q 表象 算符 F 在Q 表象 中的矩阵表示的 矩阵元 Fm n 写成矩阵形式 ψ = F φ Q 表象 X表象 （三）算符 平均值公式 插入单 位算符 （2）共轭式（左矢空间） 表明量子力学中的力学量 既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。 若 F是 厄密算符 例：力学量算符 x 在动量表象中的形式 左乘 p | 代回原式 故坐标算符 x 在动量表象中取形式: （1）X 表象描述与 Dirac 符号 Dirac 符号 项目 X 表象 （四）总结 Dirac 符号 项目 X 表象 （2）左右矢空间的对应关系 左矢空间 右矢空间 （3） 厄密共轭规则 由常量 C、左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则 1）把全部次序整个颠倒 2）作如下代换： 常量 C C* | 左矢 右矢 | | | 例如 （一）引言 （二）H - F 定理 （三）实例 §4.5 Hellmann-Feynman定理 关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。 （1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于 各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进 行烦琐的计算；