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导数与微分 第三章 导数与微分 §3.1 导数的概念 §3.2 求导法则 §3.3 隐函数的导数、高阶导数 §3.4 微分 §3.5 导数概念在经济学中的应用 §3.1 导数的概念 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、例题 引例1:自由落体 导数的定义 导函数定义 单侧导数 闭区间上可导/分段函数导数 按定义求导的三步骤 例题与讲解 例题与讲解 ★例3 例题与讲解 ★例4 例题与讲解 例5 导数的几何意义 由引例2可知，函数f (x)在点x=x0的导数f (x0)就是曲线y= f (x)在点x=x0的切线斜率。 曲线y= f (x)过点(x0, f (x0)) 的切线方程为： y - f (x0) = f (x0)(x - x0) 例6：求y=1/x过点(1/2,2)的切线和法线方程。 解：y=-1/x2,切线斜率k= y(1/2)=-4 所求切线方程为：y-2=-4(x-1/2),即 4x+y-4=0 所求法线方程为：y-2=1/4(x-1/2),即 2x-8y+15=0 函数可导性与连续性的关系 例题与讲解 连续未必可导--角点 连续未必可导--无穷导数 连续未必可导--尖点 连续未必可导--其它情况 小结 练习题1 求下列函数的导数 练习题2 练习题3 * 浙江财经学院本科教学课程 ----经济数学(一) 微积分 1 自由落体运动(s=g2t)的瞬时速度问题 如图, 取极限得 如图, 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 引例2：切线斜率 定义 即 ★ ★ 关于导数的说明 ★ 导数定义的其它形式表示形式： 注意： ★ 2 导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼近函数. 2 右导数 1 左导数 ★ ★ ★ 步骤 ★例1 解 由定义计算函数y=f(x)在点x处的导数的三个步骤： ★例2 解 解 更一般地 特别, 解 解 定理 函数y=f(x)在x0处可导，则必在x0处连续。即函数可导必连续. 证 例7 解 连续但导数不存在的几种典型情况举例 0 例如, ★ 0 1 例如, 例如, 0 1 1/π －1/π 1 导数的实质: 增量比的极限; 3 导数的几何意义: 切线的斜率; 4 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 解 解 解 * *