闪亮的圆和圆锥曲线的探究-刘红升.doc

圆与圆锥曲线探究 山东青岛胶州实验中学数学组 刘红升 2009.12.10 （一）引入 （2007山东理科21文科22）已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证:直线过定点,并求出该定点的坐标. 分析：相信大家对这道题应该不陌生，尽管此题对于圆与椭圆涉及不深，但是仍然明确的体现了不同的处理方式，尤其是圆的数形结合特点！当然直径联想到垂直是理所当然的!因此当时此题并未引起我的重视，没想到后来竟有了一段不朽的传奇！ “以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，”这是此题对圆处理的方式！ （二）深入 （2008山东理22）如图，设抛物线方程为，为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为． （Ⅰ）求证：三点的横坐标成等差数列； （Ⅱ）已知当点的坐标为时，．求此时抛物线的方程； （Ⅲ）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 分析：（Ⅲ）如图，设， 由题意不难分析：D在以OC为直径的圆上，且OD平行AB,故：有可得： 若显然成立，故 若由第一问知可设，有，得，故只有，同上！ 综上：存在满足题意！ 对比解答思考！ 解： （Ⅲ）解：设，由题意得， 则的中点坐标为， 设直线的方程为， 由点在直线上，并注意到点也在直线上， 代入得． 若在抛物线上，则， 因此或． 即或． （1）当时，则，此时，点适合题意． （2）当，对于，此时， ， 又，， 所以， 即，矛盾． 对于，因为，此时直线平行于轴， 又， 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的点． 综上所述，仅存在一点适合题意． （三）升华 2009山东高考数学理科卷（22） 设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 分析:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.应该说这道题是考前我认为的必考题！我在考前多次与同学们分析：今年解析集合大题很可能形式上是“园与椭圆”理由：解析几何只有“椭圆与抛物线”是要求掌握！而2008已经考察了“抛物线”！至于为甚麽会将圆交汇，原因之一“考试说明”最后一句“通过解析几何理解数形结合思想”而圆与向量是数形结合的绝好载体！原因之二青岛一摸理科21题给我们一种强烈的预感！由于考前多次强调圆的处理方式与椭圆不同，相信学生会在此题受益，只是可惜这是22题，很多学生时间不多了！尽管答案未给出，实际上最后一问在求是充分利用圆及等条件结合“射影定理”很简单就能算出！说明了圆的问题尽量用“数形结合”！可以说今年的压轴题是“意料之中”！而且相对于“向量的较深数形结合考察”来说继续沿着“圆和椭圆”甚至“圆和圆锥曲线”的方向发展的概率也很大！曾经的2006，2007，2008连续三年山东高考理科卷对于，，，的深刻的“美丽”的“经典”的甚至是“无与伦比”的考察，使我们有理由也同样期待对于“圆和椭圆”甚至“圆和圆锥曲线”的又有一段“传奇佳话”！可以说“圆”来考“数形结合”，椭圆来考“方程运算”是相映生辉，相得益彰！ 解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点, 所以解得所以椭圆E的方程为 （2）（法一）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, 则△=,即 假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则△=,即 ,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. 因为, 所以, , ①当时 因为所以, 所以, 所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时, 综上, |AB |的取值范围为即: （2）（法二）由于题目中“使得该圆的任意一条