双曲线经典例题讲解.doc

第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a＜|F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF1|－|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支； 当|MF1|－|MF2|=－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支； 当2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线； 当2a＞|F1F2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：和（a＞0，b＞0）.这里，其中||=2c.要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的内外部： (1)点在双曲线的内部. (2)点在双曲线的外部. 三.双曲线渐近线方程：. (2)若渐近线方程为双曲线可设为. (3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）. 四．双曲线的简单几何性质　　－=1（a＞0，b＞0） ⑴范围：|x|≥a，y∈R ⑵对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A1（－a，0），A2（a，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为渐近线方程 ②若渐近线方程为双曲线可设为 ③若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上） ④与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 ⑤ 与双曲线共焦点的双曲线系方程是 六.弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝。 第二部分 典型例题分析 题型1：运用双曲线的定义 例1. 如图所示，为双曲线的左 焦点，双曲线上的点与关于轴对称， 则的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27 [解析] ，选C 练习：设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为 （ ） A． B．12 C． D．24 ① 又② 由①、②解得 直角三角形， 故选B。－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程． 解：设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2. 又双曲线过点（3，2），∴－=1. 又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8. 故所求双曲线的方程为－=1. 练习：1已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为， 当时，化为，， 当时，化为，， 综上，双曲线方程为或 2.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为 A． B． C．（x 0） D． [解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 题型3 与渐近线有关的问题 例3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是 A． B． C． D． [解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 练习：过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是 解：设所求双曲线为 点（1，3）代入：.代入（1）：即为所求. 题型4 弦中点问题——设而不求法 例4. 双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为 （ ） B. C. D. 解:设弦的两端分别为.则有： . ∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率. 则所求直线方程为：，故选C. 练习：1.在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由. 【错解】假定存在符合条件的弦AB，其两端分别为：A（x1，y1），B（x2，y2）.那么：. ∵M（1，1）为弦AB的中点， ∴ 故存在符合条件的直线AB，其方程为：. 这个结论对不对呢？我们只须注意如下两点就够了： 其一：将点M（1，1）代入方程，发现左式=1-＜1，故点M（1，1）在双曲线的外部；其二：所求直线AB的斜率，而双曲线的渐近线为.这里，说明所求直线不可能与双曲线相交，当然所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由 这里，故方