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大一高数复习资料 高等数学（本科少学时类型） 第一章 函数与极限 第一节 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） 【题型示例】计算： x?x0 1．∵ lim??f?x??g?x???（或x??） ∴函数 U?a,????x|x?a??? f?x?≤Mf?x?≤M f?x?在x?x0的任一去心邻域U?x0,?? n?m 则有lim x??qx?b0 n?m??0 ?f?x0? g?x0??0? gx0f?x??? g?x??0,f?x??0 lim???00 x?x0gx?0 ?g?x0??f?x0??00?? f?x?0 （特别地，当lim?（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便 x?x0gx0 可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解） X?g??? 2．即对???0 ∴ ?X?g??? 成立， 【题型示例】求值 ，当 x?X lim x?3 时，始终有不等式 x?3 x2?9 得 f?x??A?? ∴ 【求解示例】解：因为 limf?x??A x?? 第四节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） x?3，从而可 x?3x?3?li2?l?x?3x?9?x3x?3x?3x?3为函数f?x?? x?3，所以原 11m? ?xx3?36 式 函数函数 f?x?无穷小?limf?x??0 f?x?无穷大?limf?x??? f?x? 为有界函数， 其中 x?3 的可去间断点 x2?9 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设 g?x? ?1 为无穷小，则 lim??f?x??g?x????0 （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 x?3???x?311 ?lim?lim? 解：lim x?3x2?9L?x?3x?32x6?2 ?x?9? ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数 f?x? 为无穷大，则f?x? 为无穷小；反之，若 f?x? 是定义域上的连续函数，那么， f?x?为无穷小，且f?x??0，则f?1?x?为无穷大 高等数学期末复习资料 第1页（共8页） limf???x???f?lim??x?? ????x?x0?x?x0? 解：因为x?0,即x?0,所以原式?lim x?3 x?3x2?9【求解示例】??? x?【题型示例】求值： lim ln?1?x??xln?1?x? x?0x2?3x ?1?x??ln?1?x??lim?1?x??x?limx?1?1?limx?0x?0xx?3x?0x?3xx?33 第八节 函数的连续性 ○函数连续的定义（★） x?x0? limf?x??lim?f?x??f?x0? x?x0 ○间断点的分类（P67）（★） 第六节 极限存在准则及两个重要极限 ○夹迫准则（P53）（★★★） sinx ?1 x?0x sinx??? sinx?x?tanxlim?1 ∵?x??0,，∴?x?0x?2? 第一个重要极限： lim ?跳越间断点（不等） 第一类间断点（左右极限存在）? ?可去间断点（相等） ??? 第二类间断点? ?）?无穷间断点（极限为 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数 lim1x1x?0 lim?lim??1 x?0sinxx?0?sinx? lim??x?0x?x? （特别地， ?e2xx?0 f?x??? ，应该怎样选择数a，使得f?x?成为在R a?xx?0? ? 上的连续函数？ 【求解示例】 sin(x?x0) ?1） x?x0x?x0lim x ○单调有界收敛准则（P57）（★★★） ?f?0???e2?0?e1?e ? ??1．∵? ?f?0??a?0?a? f?0??a?? 2．由连续函数定义 ?1? 第二个重要极限：lim?1???e x??x?? （ 一 般 地 ， ∴ a?e x?0? limf?x??limf?x??f?0??e ? x?0 limf?x??0） 【题型示例】求值： lim??f?x??? x?1 g?x? ???limf?x??? limg?x? ， 其 中 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程【证明示例】 f?x??g?x??C至少有一个根介于a与b之间 ?2x?3?lim??x??2x?1?? x?1 1．（建立辅助函数）函数 2．∵ ??x??f?x??g?x??C （端点异号） 在闭区间 ?a,b? 上连续； 【求解示例】 ??a????b??0 ?2x?3? 解：lim??x??2x?1???2x?1?2? ?lim??x?? ?2x?1? 2x?1