小学奥数排列组合.doc

计数问题 教学目标 1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合； 3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。 5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。知识点拨：例题精讲：一、 排列组合的应用【例 1】 小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？ （1）七个人排成一排； （2）七个人排成一排，小新必须站在中间. （3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间. （4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边. （5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上. （6）七个人战成两排，前排三人，后排四人. （7）七个人战成两排，前排三人，后排四人. 小新、阿呆不在同一排。【解析】 （1） P77 5040 （种） 。 （2）只需排其余 6 个人站剩下的 6 个位置． P66 720 （种）. 6 （3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的 6 个位置．2× P6 1440种． （4）先排两边，再排剩下的 5 个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置． 2 × P55 种． 240 （5）先排两边，从除小新、阿呆之外的 5 个人中选 2 人，再排剩下的 5 个人， P52 × P55 （种）. 2400 （6）七个人排成一排时，7 个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7 个位置 还是各不相同的，所以本题实质就是 7 个元素的全排列． P77 5040 （种）. （7）可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所 5 以只要求出其中一种的排法数，再乘以 2 即可．4×3× P ×22880种．排队问题，一般先考虑特殊 5 情况再去全排列。【例 2】 用 1、2、3、4、5、6 可以组成多少个没有重复数字的个位是 5 的三位数？【解析】 个位数字已知，问题变成从从 5 个元素中取 2 个元素的排列问题，已知 n 5 ，m 2 ，根据排列数公式， 一共可以组成 P52 5 × 4 20 个符合题意的三位数。【巩固】 用 1、2、3、4、5 这五个数字可组成多少个比 20000 大且百位数字不是 3 的无重复数字的五位数？【解析】 可以分两类来看： ⑴ 把 3 排在最高位上，其余 4 个数可以任意放到其余 4 个数位上，是 4 个元素全排列的问题，有 P44 4 × 3 × 2 × 1 24 种放法，对应 24 个不同的五位数； ⑵ 把 2，4，5 放在最高位上，有 3 种选择，百位上有除已确定的最高位数字和 3 之外的 3 个数字可以 选择，有 3 种选择，其余的 3 个数字可以任意放到其余 3 个数位上，有 P33 6 种选择．由乘法原理，可 以组成 3 × 3 × 6 个不同的五位数。 54 由加法原理，可以组成 24 54 个不同的五位数。 78【巩固】 用 0 到 9 十个数字组成没有重复数字的四位数； 若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则 5687 是第 几个数？【解析】 从高位到低位逐层分类： ⑴ 千位上排 1 ， 2 ， 3 或 4 时，千位有 4 种选择，而百、十、个位可以从 0 9 中除千位已确定的数字之 外的 9 个数字中选择，因为数字不重复，也就是从 9 个元素中取 3 个的排列问题，所以百、十、个位可 有 P93 9 × 8 × 7 504 种排列方式．由乘法原理，有 4 × 504 个． 2016 ⑵ 千位上排 5 ，百位上排 0 4 时，千位有 1 种选择，百位有 5 种选择，十、个位可以从剩下的八个数 字 中 选 择 ． 也 就 是 从 8 个 元 素 中 取 2 个 的 排 列 问 题 ， 即 P82 8 × 7 56 ， 由 乘 法 原 理 ， 有 1 × 5 × 56 个． 280 ⑶ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 0 ，1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 7 时，个位也从剩下的七个数字中选择，有 1 × 1 × 6 × 7 个． 42 ⑷ 千位上排 5 ，百位上排 6 ，十位上排 8 时，比 5687 小的数的个位可以选择 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 共 5 个． 综上所述，比 5687 小的四位数有 2016 280 42 5 个，故比 5687 小是第 2344 个四位数． 2343【例 3】 用 1 、 2