X-型域下二重积分的计算.PPT

一、问题的提出 注意: 解 解 在极系下： （如图） 第二节 二重积分的计算法 一 问题的提出 二 直角坐标计算二重积分利用 三 利用极坐标计算二重积分 四 小结 按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况 下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我 们今天所要研究的课题。下面介绍: 二、利用直角坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有 关,为此, 先介绍： 1、积分域 D: 如果积分区域为： ［X－型］ X型区域的特点：a、平行于y轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b、 （1）X-型域 （2）Y-型域： ［Y－型］ Y型区域的特点：a、穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界的交点不多于两个。b、 2、X-型域下二重积分的计算: 由几何意义，若 此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲边梯形面积为： (曲顶柱体的体积) 则 y Z 注: 若 ?(x,y)≤0 仍然适用。 注意: 1）上式说明: 二重积分可化为二次定积分计算; 2）积分次序: X-型域 先Y后X; 3）积分限确定法: 域中一线插, 内限定上下， 域边两线夹，外限依靠它。 为方便，上式也常记为： 3、Y-型域下二重积分的计算： 同理： ［Y－型域下］ 于是 1）积分次序: Y-型域 ,先x后Y; 2）积分限确定法: “域中一线插”, 须用平行于X轴的射线 穿插区域 。 注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、准确。 4、利用直系计算二重积分的步骤 （1）画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标； （3）确定积分限，化为二次定积分； （2）根据积分域类型, 确定积分次序； （4）计算两次定积分，即可得出结果. 解： ［X－型］ ［Y－型］ 例2 解： X-型 例3 解： （如图）将D作Y型 -1 2 5、若区域为组合域，如图则： 0 6、如果积分区域既是X－型， 又是[Y－型], 则有 解： 积分区域如图 x y o 2 3 1 原式 解： 原式 例6 解： 先去掉绝对值符号，如图 解 二重积分在直角坐标下的计算公式 （在积分中要正确选择 积分次序） ［Y－型］ ［X－型］ 7.小结 三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比 较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标 系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑 其计算问题。 1 直系与极系下的二重积分关系（如图） （1）面积元素变换为极系下： （2）二重积分转换公式： （3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下 的二重积分需要进行“三换”： 2 极系下的二重积分化为二次积分 用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限 任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。 （1）区域如图1 具体地（如图） 图1 （2）区域如图2 图2 （3）区域如图3 图3 （4）区域如图4 图4 解 解 * *